Suponha que
onde
.
Seja um feixe incidente de partículas com
se aproximando da direção de
, encontre os coeficientes de reflexão e transmissão.
Seja um feixe incidente de partículas com
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício apresenta um potencial representado pela função delta de Dirac, $ V(x) = -V \delta(x) $, onde $ V > 0 $. Estamos lidando com partículas que têm energia $ E > 0 $ e estão se movendo na direção de $ x = -\infty
R
T $). Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de mecânica quântica, especificamente a resolução da equação de Schrödinger para potenciais delta.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a equação de Schrödinger para uma partícula em uma dimensão com um potencial $ V(x) $ é dada por:
Como nosso potencial é $ V(x) = -V \delta(x) $, a equação fica:
Passo 3
Vamos considerar que a partícula está vindo de $ x = -\infty
x < 0 $) pode ser escrita como uma combinação de ondas incidentes e refletidas:
Aqui, $ e^{ikx} $ é a onda incidente e $ R e^{-ikx} $ é a onda refletida, com $ R $ sendo o coeficiente de reflexão que queremos encontrar.
Passo 4
Depois de passar pelo potencial ($ x > 0 $), a função de onda é apenas uma onda transmitida:
Aqui, $ T $ é o coeficiente de transmissão que também queremos determinar.
Passo 5
A continuidade da função de onda $ \psi $ em $ x = 0 $ nos dá a primeira condição:
Substituindo $ x = 0 $ nas expressões de $ \psi_1 $ e $ \psi_2 $:
Passo 6
Para encontrar a segunda condição, precisamos analisar a derivada da função de onda. A presença do potencial delta introduz uma descontinuidade na derivada da função de onda em $ x = 0 $. A diferença entre as derivadas à direita e à esquerda de $ x = 0 $ é dada por:
Calculando as derivadas:
Passo 7
Agora, temos duas equações:
- $ 1 + R = T $
- $ ikT - ik(1 - R) = \frac{2mV}{\hbar^2} T $
Vamos substituir $ T $ da primeira equação na segunda:
Simplificando:
Passo 8
Dividindo ambos os lados por 2 e rearranjando para isolar $ R $:
Multiplicando numerador e denominador por $ \hbar^2 $:
Passo 9
Agora, substituímos $ k $ pela relação $ k = \sqrt{\frac{2mE}{\hbar^2}} $:
Multiplicando numerador e denominador por $ i $:
Rationalizando o denominador:
Simplificando:
Passo 10
Separando a parte real e imaginária, percebemos que o coeficiente de reflexão $ R $ é uma fração que depende de $ E $ e $ V $. No entanto, para encontrar a probabilidade de reflexão $ |R|^2 $ e transmissão $ |T|^2 $, podemos simplificar:
Sabendo que $ T = 1 + R $:
E a conservação da probabilidade nos dá:
Por isso, podemos calcular apenas $ |R|^2 $ e $ |T|^2 $ a partir da expressão de $ R $.
Resposta
Os coeficientes de reflexão e transmissão são dados por:
Simplificando as probabilidades: