Suponha que
V(x)=-V de
onde V>0.
Seja um feixe incidente de partículas com E>0 se aproximando da direção de x=-infty, encontre os coeficientes de reflexão e transmissão.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício apresenta um potencial representado pela função delta de Dirac, $ V(x) = -V \delta(x) $, onde $ V > 0 $. Estamos lidando com partículas que têm energia $ E > 0 $ e estão se movendo na direção de $ x = -\infty V(x) = -V deéã R V > 0 ã T $). Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de mecânica quântica, especificamente a resolução da equação de Schrödinger para potenciais delta.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a equação de Schrödinger para uma partícula em uma dimensão com um potencial $ V(x) $ é dada por:
V(x)
Como nosso potencial é $ V(x) = -V \delta(x) $, a equação fica:
-hbar^22m d^2 psidx^2 + V(x) psi = E psi

Passo 3

Vamos considerar que a partícula está vindo de $ x = -\infty x = -infty ãçã x < 0 $) pode ser escrita como uma combinação de ondas incidentes e refletidas:
x < 0
Aqui, $ e^{ikx} $ é a onda incidente e $ R e^{-ikx} $ é a onda refletida, com $ R $ sendo o coeficiente de reflexão que queremos encontrar.

Passo 4

Depois de passar pelo potencial ($ x > 0 $), a função de onda é apenas uma onda transmitida:
x > 0
Aqui, $ T $ é o coeficiente de transmissão que também queremos determinar.

Passo 5

A continuidade da função de onda $ \psi $ em $ x = 0 $ nos dá a primeira condição:
psi
Substituindo $ x = 0 $ nas expressões de $ \psi_1 $ e $ \psi_2 $:
x = 0

Passo 6

Para encontrar a segunda condição, precisamos analisar a derivada da função de onda. A presença do potencial delta introduz uma descontinuidade na derivada da função de onda em $ x = 0 $. A diferença entre as derivadas à direita e à esquerda de $ x = 0 $ é dada por:
x = 0
Calculando as derivadas:
x = 0

Passo 7

Agora, temos duas equações:
  1. $ 1 + R = T $
  2. $ ikT - ik(1 - R) = \frac{2mV}{\hbar^2} T $
Vamos substituir $ T $ da primeira equação na segunda:
1 + R = T
Simplificando:
ikT - ik(1 - R) = 2mVhbar^2 T
T

Passo 8

Dividindo ambos os lados por 2 e rearranjando para isolar $ R $:
R
ikR = mVhbar^2 (1 + R)
ikR - mVhbar^2 R = mVhbar^2
R ( ik - mVhbar^2 ) = mVhbar^2
Multiplicando numerador e denominador por $ \hbar^2 $:
R = mVhbar^2ik - mVhbar^2

Passo 9

Agora, substituímos $ k $ pela relação $ k = \sqrt{\frac{2mE}{\hbar^2}} $:
k
Multiplicando numerador e denominador por $ i $:
k = raiz2mEhbar^2
R = mVihbar^2 raiz2mEhbar^2 - mV = mVihbar raiz2mE - mV
Rationalizando o denominador:
i
Simplificando:
R = mV cdot i-hbar raiz2mE - i mV

Passo 10

Separando a parte real e imaginária, percebemos que o coeficiente de reflexão $ R $ é uma fração que depende de $ E $ e $ V $. No entanto, para encontrar a probabilidade de reflexão $ |R|^2 $ e transmissão $ |T|^2 $, podemos simplificar:
Sabendo que $ T = 1 + R $:
R
E a conservação da probabilidade nos dá:
E
Por isso, podemos calcular apenas $ |R|^2 $ e $ |T|^2 $ a partir da expressão de $ R $.

Resposta

Os coeficientes de reflexão e transmissão são dados por:
R = imVhbar raiz2mE + i mV
T = 1 + R = hbar raiz2mEhbar raiz2mE + i mV
Simplificando as probabilidades:
|R|^2 = m^2 V^2hbar^2 2mE + m^2 V^2
|T|^2 = 2mE2mE + V^2

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