Uma partícula no poço quadrado infinito tem como função de onda inicial uma mistura equilibrada dos dois primeiros estados estacionários:
Calcule
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma partícula confinada em um poço quadrado infinito, que é uma área da física conhecida como Mecânica Quântica. A função de onda inicial dessa partícula é uma mistura equilibrada dos dois primeiros estados estacionários, representada por:
Nosso objetivo aqui é calcular o valor esperado do momento linear, ou seja,
. Para isso, vamos precisar usar conceitos de funções de onda, opeadores quânticos e valores esperados.
Passo 2
Primeiro, precisamos garantir que a função de onda
esteja normalizada. A normalização garante que a probabilidade total de encontrar a partícula no poço seja 1. A condição de normalização é:
Substituindo
:
Explicando,
é a constante de normalização que precisamos determinar.
Passo 3
Expandindo a expressão dentro da integral:
Isso se desenvolve em:
Sabemos que as funções de onda
são ortonormais, ou seja:
Onde
é o delta de Kronecker, que é 1 se
e 0 caso contrário.
Passo 4
Aplicando a ortonormalidade:
Então, a função de onda normalizada é:
Passo 5
Agora, vamos calcular o valor esperado do momento
. A expressão para o valor esperado do momento é:
Como as funções de onda
são reais, temos
. Substituindo:
Calculando a derivada:
Multiplicando as funções:
Passo 6
Observamos que:
- As integrais de
são iguais a zero devido às condições de contorno e à ortonormalidade das funções. - As integrais cruzadas envolvendo
e também se anulam devido à simetria das funções de onda nos estados estacionários.
Portanto:
Resposta
O valor esperado do momento
é zero.