Uma partícula no poço quadrado infinito tem como função de onda inicial uma mistura equilibrada dos dois primeiros estados estacionários:
Psi(x, 0)=A[psi1(x)+psi2(x)]
Calcule lang<= prang<=.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma partícula confinada em um poço quadrado infinito, que é uma área da física conhecida como Mecânica Quântica. A função de onda inicial dessa partícula é uma mistura equilibrada dos dois primeiros estados estacionários, representada por:
Psi(x, 0) = A[psi1(x) + psi2(x)]
Nosso objetivo aqui é calcular o valor esperado do momento linear, ou seja, lang<= p rang<=. Para isso, vamos precisar usar conceitos de funções de onda, opeadores quânticos e valores esperados.

Passo 2

Primeiro, precisamos garantir que a função de onda Psi(x, 0) esteja normalizada. A normalização garante que a probabilidade total de encontrar a partícula no poço seja 1. A condição de normalização é:
integral0^L |Psi(x, 0)|^2 dx = 1
Substituindo Psi(x, 0):
integral0^L |A[psi1(x) + psi2(x)]|^2 dx = 1
Explicando, A é a constante de normalização que precisamos determinar.

Passo 3

Expandindo a expressão dentro da integral:
A^2 integral0^L [psi1(x) + psi2(x)]^2 dx = 1
Isso se desenvolve em:
A^2 ( integral0^L psi1^2(x) dx + integral0^L psi2^2(x) dx + 2integral0^L psi1(x)psi2(x) dx ) = 1
Sabemos que as funções de onda psin(x) são ortonormais, ou seja:
integral0^L psim(x)psin(x) dx = de
Onde de é o delta de Kronecker, que é 1 se m=n e 0 caso contrário.

Passo 4

Aplicando a ortonormalidade:
A^2 (1 + 1 + 0) = 1 A^2 cdot 2 = 1 A^2 = 12 A = 1raiz2
Então, a função de onda normalizada é:
Psi(x, 0) = 1raiz2 [psi1(x) + psi2(x)]

Passo 5

Agora, vamos calcular o valor esperado do momento lang<= p rang<=. A expressão para o valor esperado do momento é:
lang<= p rang<= = integral0^L Psi^*(x, 0) (-ihbar ddx) Psi(x, 0) dx
Como as funções de onda psin(x) são reais, temos Psi^*(x, 0) = Psi(x, 0). Substituindo:
lang<= p rang<= = -ihbar integral0^L Psi(x, 0) ddx Psi(x, 0) dx
Calculando a derivada:
ddx Psi(x, 0) = 1raiz2 [ddx psi1(x) + ddx psi2(x)]
Multiplicando as funções:
Psi(x, 0) ddx Psi(x, 0) = 12 [psi1(x)ddx psi1(x) + psi1(x)ddx psi2(x) + psi2(x)ddx psi1(x) + psi2(x)ddx psi2(x)]

Passo 6

Observamos que:
  • As integrais de psin(x)ddx psin(x) são iguais a zero devido às condições de contorno e à ortonormalidade das funções.
  • As integrais cruzadas envolvendo psi1(x)ddx psi2(x) e psi2(x)ddx psi1(x) também se anulam devido à simetria das funções de onda nos estados estacionários.
Portanto:
lang<= p rang<= = -ihbar cdot 0 = 0

Resposta

O valor esperado do momento lang<= p rang<= é zero.

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