Um feixe de raios X com um comprimento de onda de 0,01 nm, no sentido positivo do eixo x, incide em um alvo que contém elétrons quase livres. Para o espalhamento de Compton a 180^circ de um fóton por um desses elétrons, determine (a) o deslocamento de Compton, (b) a variação da energia do fóton, © a energia cinética do elétron após o espalhamento, e (d) o ângulo entre o semieixo x positivo e a direção de movimento do elétron após o espalhamento.

Passo 1

Beleza, então o enunciado: um feixe de raios X com comprimento de onda λ = 0,01 nm chega no alvo (elétrons quase livres) ao longo do eixo x positivo. Um fóton sofre espalhamento de Compton de 180° (volta pra trás) num elétron. Precisamos achar:
a) o deslocamento de Compton Δλ,
b) a variação da energia do fóton ΔE,
c) a energia cinética do elétron K,
d) o ângulo φ entre o eixo x positivo e a direção do elétron.
Conteúdo envolvido: efeito de Compton (relaciona mudança de λ com ângulo), conservação de energia (fóton + elétron) e conservação de momento (vetorial). Vamos usar constantes:
– h = 6,626×10⁻³⁴ J·s;
– c = 3,00×10⁸ m/s;
– m_e = 9,11×10⁻³¹ kg;
– λ_c (comprimento de Compton do elétron) = h/(m_e c) ≃ 2,426×10⁻¹² m = 0,002426 nm.
A partir do próximo passo, mão na massa!

Passo 2

Fórmula do deslocamento de Compton:
Δλ = λc,(1 - cos θ)
Aqui θ = 180°, então cos θ = –1, logo
Δλ = λc,(1 - (-1)) = 2,λc = 2 × 0,002426 nm = 0,004852 nm

Passo 3

Agora calculamos a energia inicial e final do fóton:
Ei = h cλ , Ef = h cλ + Δλ
Em unidades de elétron-volt: ΔE = Ef - Ei = 83,5,keV - 124,keV = -40,5,keV .
  • .
  • Novo λ′ = 0,01 + 0,004852 = 0,014852 nm, logo

    A variação de energia do fóton é

Passo 4

Pela conservação de energia, a perda do fóton vira energia cinética do elétron:
K = Ei - Ef = 124,keV - 83,5,keV = 40,5,keV

Passo 5

Para achar o ângulo φ do elétron, usamos conservação de momento vetorial.
– Momento inicial do fóton: na direção +x.
– Momento final do fóton: na direção –x (180°).
O elétron recebe o “sobra” de momento só no eixo x, sem componente y. Logo sua direção é puramente +x, ou seja φ = 0°.

Resposta

a) Deslocamento de Compton:
b) Variação de energia do fóton:
c) Energia cinética do elétron:
d) Ângulo entre o eixo x positivo e a direção do elétron:

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