Um feixe uniforme de partículas elementares com massa de repouso m incide sobre um anteparo. Existe uma fenda de largura D=5,0 \mu \mathrm{~m}, que revela a difração das partículas, cujo padrão de difração observado em um anteparo distante apresenta o primeiro ponto de intensidade nula no espectro de difração observado em um anteparo distante. Calcule a velocidade da partícula para a obtenção deste ponto.

Passo 1

Temos um feixe de partículas de massa de repouso m que atravessa uma fenda única de largura D=5{,}0\;\mu\mathrm m e forma um padrão de difração em um anteparo distante. O enunciado diz que se observa o primeiro mínimo (primeiro ponto de intensidade nula) desse padrão. Para achar a velocidade v das partículas que gera esse mínimo, vamos usar dois conceitos:
  1. A relação de de Broglie para comprimento de onda de partículas.
  2. A condição de mínimo em difração de fenda única.

Passo 2

Pela hipótese de de Broglie, a partícula de momento linear p tem comprimento de onda
\lambda = \frac{h}{p}\,.
Como estamos em velocidades bem abaixo da relativística, p = m\,v. Logo
\lambda = \frac{h}{m\,v}\,.

Passo 3

Na difração de fenda única, o primeiro mínimo ocorre para o ângulo \theta que satisfaz
D\,\sin\theta = \lambda\,.
Como o problema não fornece um ângulo específico, interpretamos que o primeiro mínimo é visto até o limite máximo, ou seja \sin\theta = 1. Assim, para que haja esse primeiro mínimo, basta ter
\lambda = D\,.

Passo 4

Igualando \lambda da condição de difração com a de Broglie, temos
\frac{h}{m\,v} = D \quad\Longrightarrow\quad v = \frac{h}{m\,D}\,.

Passo 5

Substituindo D = 5{,}0\times10^{-6}\,\mathrm m e h = 6{,}63\times10^{-34}\,\mathrm{J\,s}, obtemos
v = \frac{6{,}63\times10^{-34}}{m\,(5{,}0\times10^{-6})} = \frac{1{,}33\times10^{-28}}{m}\quad(\mathrm{SI})\,.
Se quisermos o valor para um elétron ( m_e=9,11\times10^{-31}\,\mathrm{kg}), dá
v \approx \frac{1{,}33\times10^{-28}}{9,11\times10^{-31}} \approx 1{,}46\times10^2\;\mathrm{m/s}\,.

Resposta

v = \frac{h}{m\,D}\quad\bigl(\approx1{,}5\times10^2\mathrm{\,m/s\;para\;elétron}\bigr).é

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