(Felder 4.13) Um processo é conduzido para separar em duas frações uma mistura contendo
em massa de metanol,
de etanol e o restante de água. Um técnico retira e analisa amostras de ambas as correntes de produto e reporta que uma corrente contém
de metanol,
de etanol e a outra contém
de metanol e
de etanol. Você examina os valores reportados e diz para o técnico que eles devem estar errados e que as análises das correntes devem ser realizadas novamente.
a) Prove sua afirmação.
b) Quantas correntes você pediu para o técnico analisar? Explique.
a) Prove sua afirmação.
b) Quantas correntes você pediu para o técnico analisar? Explique.
Passo 1
O enunciado dá uma mistura de alimentação com as seguintes frações em massa:
A mistura é separada em duas correntes de produto (vou chamar de corrente 1 e corrente 2). O técnico reportou as composições assim:
- Corrente 1:
, . (A água implícita é .) - Corrente 2:
, . (A água implícita é .)
As perguntas do enunciado são:
a) Mostrar que os valores reportados são errados (ou seja, provar que são inconsistentes com o balanço de massa).
b) Quantas correntes eu pedi para o técnico analisar? (Explicar o porquê.)
a) Mostrar que os valores reportados são errados (ou seja, provar que são inconsistentes com o balanço de massa).
b) Quantas correntes eu pedi para o técnico analisar? (Explicar o porquê.)
Passo 2
Conceito básico usado: balanço de massa por componente. Se a fração em massa da corrente 1 na alimentação for
(ou seja,
da massa da alimentação vai para a corrente 1 e
vai para a corrente 2), então para cada componente o equilíbrio é:
Isso vale separadamente para metanol, etanol e água. Aqui vou aplicar primeiro ao metanol e ao etanol (basta dois para ver inconsistência).
Escrevendo para o metanol:
Vou resolver essa equação para
.
Passo 3
Resolver a equação do metanol:
Isolando
:
Ou seja, se os números do técnico estivessem corretos, cerca de
da alimentação deveria ir para a corrente 1.
Passo 4
Agora verifico o balanço do etanol usando o mesmo
— se os dados forem consistentes, a mesma
tem de satisfazer o balanço do etanol. A equação do etanol é
Reescrevendo:
Resolvendo para
:
Isso dá
negativo, o que é fisicamente impossível, e é diferente do
encontrado pelo balanço do metanol. Alternativamente, plugando
da metanol na equação do etanol obtemos o etanol previsto
que é diferente do valor do alimento
. Portanto não existe um mesmo
que satisfaça simultaneamente os balanços — as duas análises reportadas são inconsistentes entre si e com o alimento.
Passo 5
Interpretação: a inconsistência mostra que os resultados analíticos do técnico ou estão incorretos (erros de medição/rotulagem) ou foram transcritos erradamente. Por isso eu disse que ele deve refazer as análises.
Agora a parte (b) — quantas correntes eu pedi para o técnico analisar? Vou explicar contando incógnitas e equações (grau de liberdade):
- Variáveis desconhecidas completas do problema: para cada corrente temos três frações em massa, mas em cada corrente as três frações somam 1, então cada corrente tem 2 incógnitas independentes. Para duas correntes isso dá
incógnitas. Além disso existe o (a fração da alimentação que vai para a corrente 1). Total de incógnitas independentes = . - Equações independentes disponíveis sem medidas adicionais: os balanços por componente (3 equações, uma para cada componente) fornecem 3 equações; além disso as duas restrições de soma das frações nas correntes (uma para cada corrente) já foram usadas para reduzir incógnitas, portanto o sistema de balanços dá no total 3 equações independentes que relacionam as 5 incógnitas — faltam
informações independentes. - Cada análise de uma corrente (medir duas das três frações) fornece 2 informações independentes (a terceira é obtida pela soma igual a 1). Assim, medindo completamente (duas frações) de apenas UMA das correntes nós suprimos as 2 informações que faltavam e o sistema fica totalmente determinado.
Portanto eu pedi que ele analisasse apenas uma corrente de produto (bastava analisar uma corrente: medir duas frações, por exemplo metanol e etanol, e então calcular a outra corrente e o
por balanço). Pedir as duas foi redundante e, no caso, mostrou dados inconsistentes.
Resposta
a) Os valores reportados são inconsistentes: o balanço do metanol dá
enquanto o balanço do etanol dá
; não existe um mesmo
satisfazendo ambos os balanços, logo as análises estão erradas.
b) Pedi para o técnico analisar apenas uma corrente de produto (basta medir duas frações independentes dessa corrente).
b) Pedi para o técnico analisar apenas uma corrente de produto (basta medir duas frações independentes dessa corrente).