(Felder 4.13) Um processo é conduzido para separar em duas frações uma mistura contendo 25,0 \% em massa de metanol, 42,5 \% de etanol e o restante de água. Um técnico retira e analisa amostras de ambas as correntes de produto e reporta que uma corrente contém 39,8 \% de metanol, 31,5 \% de etanol e a outra contém 19,7 \% de metanol e 41,2 \% de etanol. Você examina os valores reportados e diz para o técnico que eles devem estar errados e que as análises das correntes devem ser realizadas novamente.
a) Prove sua afirmação.
b) Quantas correntes você pediu para o técnico analisar? Explique.

Passo 1

O enunciado dá uma mistura de alimentação com as seguintes frações em massa:
\text{metanol }=25{,}0\%,\qquad \text{etanol }=42{,}5\%,\qquad \text{água }=100\%-25{,}0\%-42{,}5\%=32{,}5\%.á
A mistura é separada em duas correntes de produto (vou chamar de corrente 1 e corrente 2). O técnico reportou as composições assim:
  • Corrente 1: \text{metanol}=39{,}8\%, \text{etanol}=31{,}5\%. (A água implícita é 100\%-39{,}8\%-31{,}5\%=28{,}7\%.)
  • Corrente 2: \text{metanol}=19{,}7\%, \text{etanol}=41{,}2\%. (A água implícita é 100\%-19{,}7\%-41{,}2\%=39{,}1\%.)
As perguntas do enunciado são:
a) Mostrar que os valores reportados são errados (ou seja, provar que são inconsistentes com o balanço de massa).
b) Quantas correntes eu pedi para o técnico analisar? (Explicar o porquê.)

Passo 2

Conceito básico usado: balanço de massa por componente. Se a fração em massa da corrente 1 na alimentação for x (ou seja, x da massa da alimentação vai para a corrente 1 e 1-x vai para a corrente 2), então para cada componente o equilíbrio é:
\text{(fração no alimento)} = x\cdot(\text{fração na corrente 1}) + (1-x)\cdot(\text{fração na corrente 2}).çãçãçã
Isso vale separadamente para metanol, etanol e água. Aqui vou aplicar primeiro ao metanol e ao etanol (basta dois para ver inconsistência).
Escrevendo para o metanol:
25{,}0 = x\cdot 39{,}8 + (1-x)\cdot 19{,}7.
Vou resolver essa equação para x.

Passo 3

Resolver a equação do metanol:
25{,}0 = 39{,}8x + 19{,}7(1-x)=19{,}7 + (39{,}8-19{,}7)x = 19{,}7 + 20{,}1x.
Isolando x:
25{,}0-19{,}7 = 20{,}1x \quad\Rightarrow\quad 5{,}3 = 20{,}1x
\Rightarrow\quad x = \dfrac{5{,}3}{20{,}1} \approx 0{,}2637.
Ou seja, se os números do técnico estivessem corretos, cerca de 26{,}37\% da alimentação deveria ir para a corrente 1.

Passo 4

Agora verifico o balanço do etanol usando o mesmo x — se os dados forem consistentes, a mesma x tem de satisfazer o balanço do etanol. A equação do etanol é
42{,}5 = x\cdot 31{,}5 + (1-x)\cdot 41{,}2.
Reescrevendo:
42{,}5 = 41{,}2 + (31{,}5-41{,}2)x = 41{,}2 - 9{,}7x.
Resolvendo para x:
42{,}5-41{,}2 = -9{,}7x \quad\Rightarrow\quad 1{,}3 = -9{,}7x
\Rightarrow\quad x = \dfrac{1{,}3}{-9{,}7} \approx -0{,}1340.
Isso dá x negativo, o que é fisicamente impossível, e é diferente do x encontrado pelo balanço do metanol. Alternativamente, plugando x\approx0{,}2637 da metanol na equação do etanol obtemos o etanol previsto
\text{etanol previsto} = 41{,}2 - 9{,}7\cdot 0{,}2637 \approx 38{,}64\%,
que é diferente do valor do alimento 42{,}5\%. Portanto não existe um mesmo x que satisfaça simultaneamente os balanços — as duas análises reportadas são inconsistentes entre si e com o alimento.

Passo 5

Interpretação: a inconsistência mostra que os resultados analíticos do técnico ou estão incorretos (erros de medição/rotulagem) ou foram transcritos erradamente. Por isso eu disse que ele deve refazer as análises.
Agora a parte (b) — quantas correntes eu pedi para o técnico analisar? Vou explicar contando incógnitas e equações (grau de liberdade):
  • Variáveis desconhecidas completas do problema: para cada corrente temos três frações em massa, mas em cada corrente as três frações somam 1, então cada corrente tem 2 incógnitas independentes. Para duas correntes isso dá 2\times2=4 incógnitas. Além disso existe o x (a fração da alimentação que vai para a corrente 1). Total de incógnitas independentes = 4+1=5.
  • Equações independentes disponíveis sem medidas adicionais: os balanços por componente (3 equações, uma para cada componente) fornecem 3 equações; além disso as duas restrições de soma das frações nas correntes (uma para cada corrente) já foram usadas para reduzir incógnitas, portanto o sistema de balanços dá no total 3 equações independentes que relacionam as 5 incógnitas — faltam 5-3=2 informações independentes.
  • Cada análise de uma corrente (medir duas das três frações) fornece 2 informações independentes (a terceira é obtida pela soma igual a 1). Assim, medindo completamente (duas frações) de apenas UMA das correntes nós suprimos as 2 informações que faltavam e o sistema fica totalmente determinado.
Portanto eu pedi que ele analisasse apenas uma corrente de produto (bastava analisar uma corrente: medir duas frações, por exemplo metanol e etanol, e então calcular a outra corrente e o x por balanço). Pedir as duas foi redundante e, no caso, mostrou dados inconsistentes.

Resposta

a) Os valores reportados são inconsistentes: o balanço do metanol dá x\approx0{,}2637 enquanto o balanço do etanol dá x\approx-0{,}1340; não existe um mesmo x satisfazendo ambos os balanços, logo as análises estão erradas.
b) Pedi para o técnico analisar apenas uma corrente de produto (basta medir duas frações independentes dessa corrente).

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