Resolva as integrais indefinidas a seguir pelo método da Substituição:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida
Informações relevantes dadas no enunciado:
Não há outras informações externas necessárias: a integral é indefinida, então adicionaremos uma constante de integração no final.
Passo 2
Vamos simplificar a parte trigonométrica antes de tentar qualquer substituição. Usamos a identidade trigonométrica básica
Isso vale para todo
. Aplicando essa identidade ao integrando, factoramos
:
Portanto a integral simplifica para
Passo 3
Agora observamos a forma
multiplicada por
. Isso sugere usar uma substituição onde a expressão dentro da potência seja a nova variável, porque a derivada de
é proporcional a
. Portanto escolhemos a substituição
Aqui
é uma função de
. A ideia é transformar toda a integral em termos de
e
.
Passo 4
Calculamos
a partir de
. Derivando em relação a
,
Isso significa que
Isolando
em termos de
temos
Passo 5
Substituímos na integral original (já simplificada). Temos
Colocando a constante fora da integral:
Passo 6
Integramos
. A fórmula básica de integração de potências diz que, para
,
Aqui
, então
Multiplicando pela constante
que estava fora:
Passo 7
Voltamos à variável
substituindo
:
Passo 8
Opcional (verificação rápida): derivando o resultado obtido para checar se recuperamos o integrando original (após a simplificação trigonométrica). Seja
Pela regra da cadeia,
que coincide com o integrando simplificado, então a primitiva está correta.