Resolva as integrais indefinidas a seguir pelo método da Substituição:
\int\left(x \cdot \operatorname{sen}^{2}(x)+x \cdot \cos ^{2}(x)\right) \cdot\left(5 x^{2}+2\right)^{7} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int\left(x \cdot \operatorname{sen}^{2}(x)+x \cdot \cos^{2}(x)\right)\cdot\left(5x^{2}+2\right)^{7}\,dx.
Informações relevantes dadas no enunciado:
\text{(i) } \text{o integrando é } \left(x\cdot\operatorname{sen}^{2}(x)+x\cdot\cos^{2}(x)\right)\cdot\left(5x^{2}+2\right)^{7}.é
\text{(ii) } \operatorname{sen}^{2}(x) \text{ e } \cos^{2}(x) \text{ aparecem somadas multiplicando } x.
Não há outras informações externas necessárias: a integral é indefinida, então adicionaremos uma constante de integração no final.

Passo 2

Vamos simplificar a parte trigonométrica antes de tentar qualquer substituição. Usamos a identidade trigonométrica básica
\operatorname{sen}^{2}(x)+\cos^{2}(x)=1.
Isso vale para todo x. Aplicando essa identidade ao integrando, factoramos x:
x\cdot\operatorname{sen}^{2}(x)+x\cdot\cos^{2}(x)=x\big(\operatorname{sen}^{2}(x)+\cos^{2}(x)\big)=x\cdot 1 = x.
Portanto a integral simplifica para
\int x\cdot\left(5x^{2}+2\right)^{7}\,dx.

Passo 3

Agora observamos a forma \left(5x^{2}+2\right)^{7} multiplicada por x\,dx. Isso sugere usar uma substituição onde a expressão dentro da potência seja a nova variável, porque a derivada de 5x^{2}+2 é proporcional a x. Portanto escolhemos a substituição
u=5x^{2}+2.
Aqui u é uma função de x. A ideia é transformar toda a integral em termos de u e du.

Passo 4

Calculamos du a partir de u=5x^{2}+2. Derivando em relação a x,
\frac{du}{dx}=10x.
Isso significa que
du=10x\,dx.
Isolando x\,dx em termos de du temos
x\,dx=\frac{du}{10}.

Passo 5

Substituímos na integral original (já simplificada). Temos
\int x\cdot\left(5x^{2}+2\right)^{7}\,dx =\int \left(u^{7}\right)\cdot\left(\frac{du}{10}\right).
Colocando a constante fora da integral:
=\frac{1}{10}\int u^{7}\,du.

Passo 6

Integramos u^{7}. A fórmula básica de integração de potências diz que, para n\neq-1,
\int u^{n}\,du=\frac{u^{n+1}}{n+1}+C.
Aqui n=7, então
\int u^{7}\,du=\frac{u^{8}}{8}+C.
Multiplicando pela constante \frac{1}{10} que estava fora:
\frac{1}{10}\cdot\frac{u^{8}}{8}=\frac{u^{8}}{80}+C.

Passo 7

Voltamos à variável x substituindo u=5x^{2}+2:
\frac{u^{8}}{80}+C=\frac{\big(5x^{2}+2\big)^{8}}{80}+C.

Passo 8

Opcional (verificação rápida): derivando o resultado obtido para checar se recuperamos o integrando original (após a simplificação trigonométrica). Seja
F(x)=\frac{\big(5x^{2}+2\big)^{8}}{80}.
Pela regra da cadeia,
F'(x)=\frac{8}{80}\big(5x^{2}+2\big)^{7}\cdot(10x)=\big(5x^{2}+2\big)^{7}\cdot x,
que coincide com o integrando simplificado, então a primitiva está correta.

Resposta

\displaystyle \frac{\big(5x^{2}+2\big)^{8}}{80}+C

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