Resolva as integrais indefinidas a seguir pelo método da Substituição:
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral indefinida
Informações dadas:
O que se pede:
- Encontrar uma primitiva (antiderivada) da função dada, isto é, uma função
tal que .
Passo 2
Ideia geral do método da substituição (explicação didática):
- Quando a integral tem uma parte cujo diferencial aparece multiplicando o resto (por exemplo uma função
e seu multiplicando), podemos definir e trocar as variáveis: . - Após trocar, a integral em
vira uma integral em , geralmente mais simples. - Fórmula usada: se
e , então
No nosso caso vamos procurar uma
tal que seu diferencial seja proporcional a
, porque esse fator aparece multiplicando a raiz.
Passo 3
Escolha da substituição e cálculo de
:
- Observando o integrando, a expressão dentro da raiz é
. Se definirmos
então derivando ambos os lados em relação a
obtemos
Portanto
. Essa igualdade é perfeita: o fator
que aparece na integral será substituído por
, eliminando
.
Passo 4
Troca da integral para a variável
:
- Substituindo
e na integral original temos
- Escrevendo
como potência: . Então a integral vira
Passo 5
Integral em
usando a regra da potência:
- Regra da potência para integrais: se
, então
- Aqui
. Aplicando a regra:
Passo 6
Volta para a variável
(substituição inversa):
- Lembrando que
, substituímos de volta:
Essa é uma primitiva da função dada.
Passo 7
Verificação rápida (diferenciação para checar):
- Vamos derivar
para conferir:
Aplicando a regra da cadeia (derivada deé ):
que coincide com o integrando. Portanto está correta.