Resolva as integrais indefinidas a seguir pelo método da Substituição:
\int e^{x} \cdot \sqrt{\left(1+e^{x}\right)} d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral indefinida
\int e^{x}\cdot \sqrt{\left(1+e^{x}\right)}\,dx.
Informações dadas:
\text{Integrando: } e^{x}\cdot \sqrt{\left(1+e^{x}\right)}.
O que se pede:
  • Encontrar uma primitiva (antiderivada) da função dada, isto é, uma função F(x) tal que F'(x)=e^{x}\sqrt{1+e^{x}}.

Passo 2

Ideia geral do método da substituição (explicação didática):
  • Quando a integral tem uma parte cujo diferencial aparece multiplicando o resto (por exemplo uma função g(x) e seu g'(x) multiplicando), podemos definir u=g(x) e trocar as variáveis: du=g'(x)\,dx.
  • Após trocar, a integral em x vira uma integral em u, geralmente mais simples.
  • Fórmula usada: se u=g(x) e du=g'(x)\,dx, então
\int g'(x)\,h(g(x))\,dx = \int h(u)\,du.
No nosso caso vamos procurar uma u tal que seu diferencial seja proporcional a e^{x}\,dx, porque esse fator aparece multiplicando a raiz.

Passo 3

Escolha da substituição e cálculo de du:
  • Observando o integrando, a expressão dentro da raiz é 1+e^{x}. Se definirmos
u = 1+e^{x},
então derivando ambos os lados em relação a x obtemos
du = \frac{d}{dx}\bigl(1+e^{x}\bigr)\,dx = e^{x}\,dx.
Portanto e^{x}\,dx = du. Essa igualdade é perfeita: o fator e^{x}\,dx que aparece na integral será substituído por du, eliminando x.

Passo 4

Troca da integral para a variável u:
  • Substituindo u=1+e^{x} e e^{x}\,dx=du na integral original temos
\int e^{x}\cdot \sqrt{1+e^{x}}\,dx = \int \sqrt{u}\,du.
  • Escrevendo \sqrt{u} como potência: \sqrt{u}=u^{1/2}. Então a integral vira
\int u^{1/2}\,du.

Passo 5

Integral em u usando a regra da potência:
  • Regra da potência para integrais: se n\neq -1, então
\int u^{n}\,du = \frac{u^{n+1}}{n+1}+C.
  • Aqui n=\tfrac{1}{2}. Aplicando a regra:
\int u^{1/2}\,du = \frac{u^{1/2+1}}{1/2+1}+C = \frac{u^{3/2}}{3/2}+C = \frac{2}{3}u^{3/2}+C.

Passo 6

Volta para a variável x (substituição inversa):
  • Lembrando que u=1+e^{x}, substituímos de volta:
\frac{2}{3}u^{3/2}+C = \frac{2}{3}\bigl(1+e^{x}\bigr)^{3/2}+C.
Essa é uma primitiva da função dada.

Passo 7

Verificação rápida (diferenciação para checar):
  • Vamos derivar F(x)=\dfrac{2}{3}\bigl(1+e^{x}\bigr)^{3/2} para conferir:
    Aplicando a regra da cadeia (derivada de f(g(x)) é f'(g(x))\cdot g'(x)):
F'(x)=\frac{2}{3}\cdot \frac{3}{2}\bigl(1+e^{x}\bigr)^{1/2}\cdot e^{x}=e^{x}\sqrt{1+e^{x}},
que coincide com o integrando. Portanto está correta.

Resposta

\frac{2}{3}\bigl(1+e^{x}\bigr)^{3/2}+C

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