Um fem de 20,0 \mathrm{~V} é aplicado a uma bobina com uma indutância de 40,0 \mathrm{mH} e uma resistência de 0,500 \Omega.
a) Determine a energia armazenada no campo magnético quando a corrente atinge 1 / 4 de seu valor máximo. (Resposta em J e com duas casas decimais) \square
b) Quanto tempo leva para a corrente atingir esse valor? (Resposta em s e com quatro casas decimais) \square

Passo 1

O enunciado descreve um circuito RL em que uma fem de 20{,}0,V é aplicada a uma bobina de indutância L=40{,}0,mH e resistência R=0,500, \Omega. Queremos (a) a energia magnética quando a corrente atinge \tfrac14 do valor máximo e (b) o tempo necessário para isso. Para (a) usaremos a fórmula da energia armazenada num indutor; para (b) o comportamento transiente de um circuito RL.

Passo 2

Primeiro encontramos a corrente máxima em regime permanente:
I_{\max}=\frac{E}{R}=\frac{20{,}0}{0,500}=40{,}0\text{ A}.
O valor desejado de corrente é
i=\frac{1}{4}I_{\max}=10{,}0\text{ A}.
A energia armazenada no indutor é dada por
U=\tfrac12\,L\,i^{2}.
Substituindo L=40{,}0,mH =0,040,H e i=10{,}0,A, obtemos
U=\tfrac12\cdot0,040\cdot(10{,}0)^{2}=2{,}00\text{ J}.

Passo 3

Para a parte (b), a constante de tempo do circuito é
\tau=\frac{L}{R}=\frac{0,040}{0,500}=0,080\text{ s}.
A corrente no instante t evolui segundo
i(t)=I_{\max}\Bigl(1-e^{-t/\tau}\Bigr).
Queremos i(t)=\tfrac14I_{\max}, logo
\tfrac14 = 1 - e^{-t/\tau} \quad\Longrightarrow\quad e^{-t/\tau}=\tfrac34 \quad\Longrightarrow\quad t=-\tau\ln\bigl(\tfrac34\bigr).
Substituindo \tau=0,080,s,
t = -0,080\ln\bigl(0,75\bigr)\approx0,0230\text{ s}.

Resposta

a) 2{,}00 J
b) 0,0230 s

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