Pretende-se construir um indutor no formato de um solenoide que ten. 50 cm de comprimento. è desejado qu e a indutancia desse solenoide fique proxima a 2,84 \mathrm{uH}. Existem dois fio disponivel para a confeccao do indutor:
A) um fio de secao reta circular com raio de 2 mm
B) um fio de secao reta quadrada co lado de 4 mm do ponto de vista estritamente economico, qual dos fios é mais indicado para a construcao do indutor? justifique sua resposta com base em fundamentos eletromagneticos

Passo 1

O enunciado quer um solenoide de comprimento l=0{,}50\\ \mathrm{m} com indutância próxima de L=2,84\\ \mu\mathrm{H}. Temos dois fios disponíveis para enrolar esse solenoide:
A) fio de seção circular de raio r=2\\ \mathrm{mm}
B) fio de seção quadrada de lado a=4\\ \mathrm{mm}
Do ponto de vista econômico, queremos minimizar o custo do cobre necessário para obter essa indutância.

Passo 2

Em eletromagnetismo a indutância de um solenoide longo é dada por
L = \mu_{0}\,\frac{N^{2}\,A_{\mathrm{coil}}}{l}
onde N é o número de espiras e A_{\mathrm{coil}} é a área da seção transversal do enrolamento (determinado pelo diâmetro do mandril, que tomamos igual nos dois casos).
Se chamarmos de L_{w} o comprimento total de fio usado, então
N = \frac{L_{w}}{2\pi R_{\mathrm{coil}}} \quad\Longrightarrow\quad L = \mu_{0}\,\frac{A_{\mathrm{coil}}}{l}\,\Bigl(\frac{L_{w}}{2\pi R_{\mathrm{coil}}}\Bigr)^{2}
Aqui R_{\mathrm{coil}} é o raio do mandril (o mesmo para ambos os fios), de modo que o fator
\mu_{0}A_{\mathrm{coil}}/(l\,(2\pi R_{\mathrm{coil}})^{2})
é idêntico em A e em B. Para atingir L=2,84\\ \mu\mathrm{H}, o comprimento L_{w} de fio necessário é, portanto, o mesmo em ambos os casos.

Passo 3

O custo do fio está diretamente ligado à massa de cobre que ele contém. Para densidade \rho do cobre e comprimento L_{w} fixo, a massa é
m = \rho \, A_{\mathrm{cond}} \, L_{w}
onde A_{\mathrm{cond}} é a área da seção do condutor. Calculamos:
A_{A} = \pi\,r^{2} = \pi\,(2\\ \mathrm{mm})^{2} \approx 12{,}57\\ \mathrm{mm}^{2},
A_{B} = a^{2} = (4\\ \mathrm{mm})^{2} = 16\\ \mathrm{mm}^{2}.
Como L_{w} e \rho são os mesmos, a razão das massas m_{B}/m_{A}=A_{B}/A_{A}\approx1{,}27. Ou seja, o fio B exigiria cerca de 27% mais massa de cobre (e, portanto, 27% mais custo) para a mesma indutância.

Passo 4

Concluímos que, para obter 2,84\\ \mu\mathrm{H} em 50 cm de solenoide com o mínimo de cobre, o fio de seção menor (circular de raio 2 mm) é mais econômico, pois requer menos massa de cobre para o mesmo L_{w}.

Resposta

O fio A (seção circular de raio 2\\ \mathrm{mm}) é o mais indicado do ponto de vista econômico, já que sua área de seção é menor ( 12,57\\ \mathrm{mm}^{2} em vez de 16\\ \mathrm{mm}^{2}), resultando em menor massa de cobre necessária para alcançar a mesma indutância.

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