Pretende-se construir um indutor no formato de um solenoide que ten. 50 cm de comprimento. è desejado qu e a indutancia desse solenoide fique proxima a
. Existem dois fio disponivel para a confeccao do indutor:
A) um fio de secao reta circular com raio de 2 mm
B) um fio de secao reta quadrada co lado de 4 mm do ponto de vista estritamente economico, qual dos fios é mais indicado para a construcao do indutor? justifique sua resposta com base em fundamentos eletromagneticos
A) um fio de secao reta circular com raio de 2 mm
B) um fio de secao reta quadrada co lado de 4 mm do ponto de vista estritamente economico, qual dos fios é mais indicado para a construcao do indutor? justifique sua resposta com base em fundamentos eletromagneticos
Passo 1
O enunciado quer um solenoide de comprimento
com indutância próxima de
. Temos dois fios disponíveis para enrolar esse solenoide:
A) fio de seção circular de raio
B) fio de seção quadrada de lado
Do ponto de vista econômico, queremos minimizar o custo do cobre necessário para obter essa indutância.
A) fio de seção circular de raio
B) fio de seção quadrada de lado
Do ponto de vista econômico, queremos minimizar o custo do cobre necessário para obter essa indutância.
Passo 2
Em eletromagnetismo a indutância de um solenoide longo é dada por
onde
é o número de espiras e
é a área da seção transversal do enrolamento (determinado pelo diâmetro do mandril, que tomamos igual nos dois casos).
Se chamarmos de
o comprimento total de fio usado, então
Aqui
é o raio do mandril (o mesmo para ambos os fios), de modo que o fator
é idêntico em A e em B. Para atingir , o comprimento
de fio necessário é, portanto, o mesmo em ambos os casos.
é idêntico em A e em B. Para atingir
Passo 3
O custo do fio está diretamente ligado à massa de cobre que ele contém. Para densidade
do cobre e comprimento
fixo, a massa é
onde
é a área da seção do condutor. Calculamos:
Como
e
são os mesmos, a razão das massas
. Ou seja, o fio B exigiria cerca de 27% mais massa de cobre (e, portanto, 27% mais custo) para a mesma indutância.
Passo 4
Concluímos que, para obter
em 50 cm de solenoide com o mínimo de cobre, o fio de seção menor (circular de raio 2 mm) é mais econômico, pois requer menos massa de cobre para o mesmo
.
Resposta
O fio A (seção circular de raio
) é o mais indicado do ponto de vista econômico, já que sua área de seção é menor (
em vez de
), resultando em menor massa de cobre necessária para alcançar a mesma indutância.