14.7 Uma bomba centrífuga de água opera a 1500 rpm . As dimensões seguem:
\begin{gathered} r_{1}=12 \mathrm{~cm} \beta_{1}=32^{\circ} \\\ r_{2}=20 \mathrm{~cm} \beta_{2}=20^{\circ} \\\ L=4,2 \mathrm{~cm} \end{gathered}
Determine (a) a taxa de descarga no ponto de projeto, (b) a potência da água e (c) a carga de descarga.

Passo 1

O problema é de turbomáquinas: uma bomba centrífuga de água gira a 1500\,\mathrm{rpm} e tem raio de entrada r_{1}=0{,}12\,\mathrm{m} com ângulo de lâmina \beta_{1}=32^\circ, raio de saída r_{2}=0{,}20\,\mathrm{m} com ângulo de lâmina \beta_{2}=20^\circ e largura do canal L=0{,}042\,\mathrm{m}. Precisamos usar os triângulos de velocidade e a equação de Euler para turbomáquinas para achar:
a) a vazão Q,
b) a potência hidráulica P,
c) a carga manométrica H.

Passo 2

Calcular a velocidade periférica na entrada e o componente radial do escoamento usando o triângulo de entrada.
A rotação em rad/s é
\omega = \frac{1500}{60}\;2\pi = 50\pi\;\mathrm{rad/s}.
Logo
u_{1} = \omega\,r_{1} = 50\pi \times 0{,}12 = 6\pi \approx 18{,}85\;\mathrm{m/s}.
No ponto de projeto assume-se que não há vazão de giro c_{1u}=0 e o ângulo relativo \beta_{1}
\tan\beta_{1} = \frac{V_{r1}}{u_{1}}\quad\Longrightarrow\quad V_{r1} = u_{1}\,\tan\beta_{1} = 6\pi\times\tan(32^\circ)\approx11{,}78\;\mathrm{m/s}.
A vazão é
Q = A_{1}\,V_{r1} \quad\text{com}\quad A_{1}=2\pi\,r_{1}L
A_{1}=2\pi\times0{,}12\times0{,}042\approx0{,}03167\;\mathrm{m^{2}} \quad\Longrightarrow\quad Q=0{,}03167\times11{,}78\approx0{,}373\;\mathrm{m^{3}/s}.

Passo 3

Calcular a velocidade periférica na saída e o componente tangencial de c_{2} pelo triângulo de saída.
u_{2} = \omega\,r_{2} = 50\pi\times0{,}20 = 10\pi \approx31{,}42\;\mathrm{m/s}.
Pelo triângulo relativo na saída usa-se a convenção
\tan\beta_{2} = \frac{u_{2}-c_{2u}}{V_{r2}} \quad\Longrightarrow\quad c_{2u} = u_{2} - V_{r2}\,\tan\beta_{2}.
Como V_{r2}=V_{r1}=11{,}78\,\mathrm{m/s} e \tan20^\circ\approx0{,}364,
c_{2u}=31{,}42 - 11{,}78\times0{,}364\approx27{,}13\;\mathrm{m/s}.

Passo 4

Aplicar a equação de Euler para encontrar a carga hidráulica H:
H = \frac{u_{2}\,c_{2u} - u_{1}\,c_{1u}}{g} = \frac{31{,}42\times27{,}13 - 18{,}85\times0}{9{,}81} \approx \frac{852{,}4}{9{,}81}\approx86{,}9\;\mathrm{m}.

Passo 5

Calcular a potência hidráulica P (água de densidade \rho=1000\,\mathrm{kg/m^3}):
P = \rho\,g\,H\,Q = 1000\times9{,}81\times86{,}9\times0{,}373 \approx3{,}18\times10^{5}\;\mathrm{W} =318\;\mathrm{kW}.

Resposta

(a) Q\approx0{,}373\;\mathrm{m^{3}/s}
(b) P\approx318\;\mathrm{kW}
(c) H\approx86{,}9\;\mathrm{m}

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