20.4 Um cilindro de cobre de 2 in de diâmetro, 6 in de comprimento, a uma temperatura uniforme de 200^{\circ} \mathrm{F}, é mergulhado verticalmente em um grande tanque de água a 50^{\circ} \mathrm{F}.
a. Quanto tempo levará para que a temperatura da superfície externa do cilindro atinja 100^{\circ} \mathrm{F} ?
b. Quanto tempo levará para que o centro do cilindro atinja 100^{\circ} \mathrm{F} ?
c. Qual será a temperatura da superfície quando a temperatura do centro for 100^{\circ} \mathrm{F} ? A transferência de calor das extremidades do cilindro pode ser desprezada.

Passo 1

O exercício trata de resfriamento transiente de um cilindro de cobre inicialmente a 200^\circ\mathrm{F} imerso em água a 50^\circ\mathrm{F}. Como o diâmetro é de 2 in ( R=1 in) e a condutividade do cobre é muito alta, o número de Biot é pequeno, o que justifica o método de corpo de temperatura uniforme (método lumped). Vamos precisar de: \rho=560\\ \mathrm{lbm/ft^3}, c=0{,}092\\ \mathrm{Btu/(lbm\,^\circ F)}, k=226\\ \mathrm{Btu/(hr\,ft\,^\circ F)}, h=100\\ \mathrm{Btu/(hr\,ft^2\,^\circ F)},
e raio do cilindro R=1/12\\ \mathrm{ft}.

Passo 2

Calcular o número de Biot para verificar a hipótese de temperatura uniforme:
\mathrm{Bi}=\frac{h\,R}{k} =\frac{100\,(1/12)}{226}\approx0,037\ll0{,}1,
logo podemos usar o método lumped.

Passo 3

No método lumped a equação de resfriamento é
\frac{T(t)-T_\infty}{T_i-T_\infty} =\exp\Bigl(-\frac{h\,A}{\rho\,V\,c}\,t\Bigr).
Como V=\pi R^2L e A=2\pi R L, tem-se
\frac{A}{V}=\frac{2\pi R L}{\pi R^2 L}=\frac{2}{R},
de modo que
t=-\frac{\rho\,c}{h}\,\frac{R}{2} \ln\!\biggl(\frac{T(t)-T_\infty}{T_i-T_\infty}\biggr).

Passo 4

(a) Tempo para a superfície atingir 100^\circ\mathrm{F}.
Aqui T(t)=100^\circ\mathrm{F}, T_i=200^\circ\mathrm{F}, T_\infty=50^\circ\mathrm{F},
\frac{T(t)-T_\infty}{T_i-T_\infty} =\frac{100-50}{200-50}=\frac{50}{150}=\tfrac{1}{3}.
Então
t=-\frac{560\cdot0{,}092}{100}\,\frac{1/12}{2} \ln\!\bigl(\tfrac{1}{3}\bigr) \approx0,0236\\ \mathrm{h} \approx1{,}42\\ \mathrm{min} \approx85{,}2\\ \mathrm{s}.

Passo 5

(b) No método lumped a temperatura interna é igual à da superfície em todo instante, logo o centro também leva 1{,}42 min para chegar a 100^\circ\mathrm{F}.

Passo 6

(c) Quando o centro atinge 100^\circ\mathrm{F}, toda a peça está a 100^\circ\mathrm{F}, então a temperatura da superfície é 100^\circ\mathrm{F}.

Resposta

a. t\approx1{,}42\\ \mathrm{min} ( \approx 85 s)
b. t\approx1{,}42\\ \mathrm{min}
c. T_{\rm superfície}=100^\circ\mathrm{F}í

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