8.5 Deduza a expressão para a distribuição de velocidades e para a queda de pressão para um fluido newtoniano em escoamento laminar completamente estabelecido no espaço anular entre dois tubos concêntricos horizontais. Aplique o teorema do momento para uma casca anular de fluido de espessura \Delta r e mostre que a análise de tal volume de controle conduz a
\frac{d}{d r}(r \tau)=r \frac{\Delta P}{L}
As expressões desejadas podem ser então obtidas pela substituição da lei de Newton da viscosidade e duas
integrações.

Passo 1

O problema pede a distribuição de velocidades u(r) e a queda de pressão \Delta P por comprimento L num escoamento laminar, newtoniano e completamente estabelecido no espaço anular entre dois tubos concêntricos horizontais de raios internos R_{1} e externos R_{2}. Vamos usar o balanço de momento (forças axiais) num elemento cilíndrico de fluido de raio r e espessura \Delta r.

Passo 2

Em regime estacionário não há aceleração, então a soma das forças axiais sobre a casca cilíndrica deve ser zero. As forças são:
• Força de pressão líquida ao longo de um comprimento L:
F_{p} = \bigl[p(x)-p(x+L)\bigr]\;2\pi r\,\Delta r =\frac{\Delta P}{L}\,2\pi r\,\Delta r.
• Força de cisalhamento nas superfícies cilíndricas interna e externa:
F_{\tau} =-2\pi\bigl[(r+\Delta r)\,\tau(r+\Delta r)-r\,\tau(r)\bigr] \approx -2\pi\,\frac{d}{dr}(r\,\tau)\,\Delta r.
Igualando F_{p}+F_{\tau}=0 e dividindo por 2\pi\,\Delta r resulta
\frac{d}{dr}\bigl(r\,\tau\bigr) = r\,\frac{\Delta P}{L}.

Passo 3

Substituindo a lei de Newton da viscosidade \tau=\mu\,du/dr no resultado acima, obtemos
\frac{d}{dr}\Bigl(r\,\mu\,\frac{du}{dr}\Bigr) = r\,\frac{\Delta P}{L}.
Fazendo a primeira integração em r,
r\,\mu\,\frac{du}{dr} =\int r\,\frac{\Delta P}{L}\,dr + C_{1} =\frac{\Delta P}{2L}\,r^{2}+C_{1}.

Passo 4

Isolando du/dr e integrando pela segunda vez,
\frac{du}{dr} =\frac{1}{\mu}\Bigl(\frac{\Delta P}{2L}\,r+\frac{C_{1}}{r}\Bigr),
u(r) =\int\Bigl(\frac{\Delta P}{2\mu L}\,r+\frac{C_{1}}{\mu\,r}\Bigr)dr +C_{2} =\frac{\Delta P}{4\mu L}\,r^{2}+\frac{C_{1}}{\mu}\ln r +C_{2}.

Passo 5

Impondo as condições de não deslizamento u(R_{1})=0 e u(R_{2})=0 obtemos dois sistemas lineares que levam a
C_{1} =-\frac{\Delta P}{4L}\,\frac{R_{2}^{2}-R_{1}^{2}}{\ln(R_{2}/R_{1})}, \qquad C_{2} =-\frac{\Delta P}{4\mu L}\,R_{2}^{2} -\frac{C_{1}}{\mu}\ln R_{2}.

Passo 6

Substituindo C_{1} e C_{2} em u(r) chega-se à distribuição final
u(r) =\frac{\Delta P}{4\mu L}\Biggl[ R_{2}^{2}-r^{2} +\frac{R_{2}^{2}-R_{1}^{2}}{\ln(R_{2}/R_{1})}\, \ln\!\bigl(\tfrac{r}{R_{2}}\bigr) \Biggr].

Passo 7

Para obter a queda de pressão em função do fluxo Q, integramos o perfil:
Q = \int_{R_{1}}^{R_{2}}2\pi r\,u(r)\,dr =\frac{\pi\,\Delta P}{8\mu L} \Biggl[ R_{2}^{4}-R_{1}^{4} -\frac{(R_{2}^{2}-R_{1}^{2})^{2}}{\ln(R_{2}/R_{1})} \Biggr].
Invertendo essa relação, a queda de pressão por comprimento é
\frac{\Delta P}{L} =\frac{8\mu\,Q}{\pi\, \bigl[ R_{2}^{4}-R_{1}^{4} -(R_{2}^{2}-R_{1}^{2})^{2}/\ln(R_{2}/R_{1}) \bigr]}.

Resposta

Distribuição de velocidades:
u(r) =\frac{\Delta P}{4\mu L}\Bigl[ R_{2}^{2}-r^{2} +\frac{R_{2}^{2}-R_{1}^{2}}{\ln(R_{2}/R_{1})}\ln\!\bigl(\tfrac{r}{R_{2}}\bigr) \Bigr].
Queda de pressão por comprimento em função do fluxo Q:
\frac{\Delta P}{L} =\frac{8\mu\,Q}{\pi\, \Bigl[ R_{2}^{4}-R_{1}^{4} -\dfrac{(R_{2}^{2}-R_{1}^{2})^{2}}{\ln(R_{2}/R_{1})} \Bigr]}.

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