8.5 Deduza a expressão para a distribuição de velocidades e para a queda de pressão para um fluido newtoniano em escoamento laminar completamente estabelecido no espaço anular entre dois tubos concêntricos horizontais. Aplique o teorema do momento para uma casca anular de fluido de espessura
e mostre que a análise de tal volume de controle conduz a
As expressões desejadas podem ser então obtidas pela substituição da lei de Newton da viscosidade e duas
integrações.
integrações.
Passo 1
O problema pede a distribuição de velocidades
e a queda de pressão
por comprimento
num escoamento laminar, newtoniano e completamente estabelecido no espaço anular entre dois tubos concêntricos horizontais de raios internos
e externos
. Vamos usar o balanço de momento (forças axiais) num elemento cilíndrico de fluido de raio
e espessura
.
Passo 2
Em regime estacionário não há aceleração, então a soma das forças axiais sobre a casca cilíndrica deve ser zero. As forças são:
• Força de pressão líquida ao longo de um comprimento
:
• Força de cisalhamento nas superfícies cilíndricas interna e externa:
Igualando
e dividindo por
resulta
Passo 3
Substituindo a lei de Newton da viscosidade
no resultado acima, obtemos
Fazendo a primeira integração em
,
Passo 4
Isolando
e integrando pela segunda vez,
Passo 5
Impondo as condições de não deslizamento
e
obtemos dois sistemas lineares que levam a
Passo 6
Substituindo
e
em
chega-se à distribuição final
Passo 7
Para obter a queda de pressão em função do fluxo
, integramos o perfil:
Invertendo essa relação, a queda de pressão por comprimento é
Resposta
Distribuição de velocidades:
Queda de pressão por comprimento em função do fluxo
: