8.10 Um fluido escoa entre duas placas paralelas, separadas por uma distância h. A placa superior se move com uma velocidade v_{0}; a placa inferior está estacionária. Para qual valor de gradiente de pressão a tensão cisalhante na parede inferior será zero?

Passo 1

O problema é um escoamento de Couette–Poiseuille entre duas placas paralelas a distância h, com a placa de cima deslizando a velocidade v_{0} e a placa de baixo estacionária. Queremos saber para qual valor do gradiente de pressão \dfrac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}x} a tensão cisalhante na parede inferior y=0 é zero. Vamos usar a equação de Navier–Stokes reduzida para escoamento unidimensional, em regime permanente e totalmente desenvolvido, e aplicar as condições de contorno.

Passo 2

Em escoamento unidimensional e permanente sem variação de velocidade na direção x, a equação de momento em x reduz-se a
0 = -\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}x} + \mu \,\frac{\mathrm{d}^2u}{\mathrm{d}y^2}\,,
onde u(y) é a velocidade em x, \mu a viscosidade dinâmica e \tfrac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}x} o gradiente de pressão constante.

Passo 3

Integrando duas vezes em y, obtemos
\frac{\mathrm{d}^2u}{\mathrm{d}y^2} = \frac{1}{\mu}\,\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}x} \quad\Longrightarrow\quad \frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}y} = \frac{1}{\mu}\,\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}x}\,y + A \quad\Longrightarrow\quad u(y) = \frac{1}{2\mu}\,\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}x}\,y^2 + A\,y + B,
com A e B constantes de integração.

Passo 4

Impondo as condições de contorno \;u(0)=0\; e \;u(h)=v_{0},
temos
u(0)=0 \;\Longrightarrow\; B = 0,
u(h)=v_{0} \;\Longrightarrow\; \frac{1}{2\mu}\,\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}x}\,h^2 + A\,h = v_{0} \;\Longrightarrow\; A = \frac{v_{0} - \dfrac{h^2}{2\mu}\,\dfrac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}x}}{h}.

Passo 5

A tensão cisalhante na parede inferior é
\tau_{y x}\bigl|_{y=0} = \mu\,\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}y}\Big|_{y=0} = \mu\,A.
Queremos \tau_{y x}(0)=0, logo A=0. Assim
0 = v_{0} - \frac{h^2}{2\mu}\,\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}x} \quad\Longrightarrow\quad \frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}x} = \frac{2\mu\,v_{0}}{h^2}.

Resposta

\boxed{\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}x} = \frac{2\mu\,v_{0}}{h^2}.}

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