8.6 Um bastão fino de diâmetro d é puxado com uma velocidade constante através de um tubo de diâmetro D. Se o fio estiver no centro do tubo, encontre o arraste por unidade de comprimento do fio. O fluido que enche o espaço entre o bastão e o tubo interno tem densidade \rho e viscosidade \mu.

Passo 1

Temos um bastão cilíndrico de diâmetro d que se move axialmente com velocidade constante U dentro de um tubo cilíndrico de diâmetro D, com o bastão e o tubo sendo coaxiais. O espaço anular está cheio de fluido viscoso de viscosidade \mu.
Conteúdo: escoamento de Couette entre cilindros concêntricos em regime estacionário e sem gradiente de pressão axial. Vamos resolver a equação de equilíbrio viscoso em coordenadas cilíndricas para obter o perfil de velocidade u(r) no anel e daí calcular o arraste por comprimento.

Passo 2

No escoamento estacionário, unidimensional e sem variação angular ou axial além de u(r), a equação de Navier–Stokes reduz-se a
0 \;=\; \mu\,\frac{1}{r}\frac{d}{dr}\!\Bigl(r\frac{du}{dr}\Bigr).
Integrando uma vez:
r\frac{du}{dr} = C_1 \quad\Longrightarrow\quad \frac{du}{dr} = \frac{C_1}{r}.
Integrando de novo:
u(r) = C_1\ln r + C_2.

Passo 3

Chamando
R_1 = \frac{d}{2},\quad R_2 = \frac{D}{2},
impondo as condições de contorno u(R_1)=U e u(R_2)=0, temos
U = C_1\ln R_1 + C_2, \qquad 0 = C_1\ln R_2 + C_2.
Subtraindo as duas equações obtém-se
C_1 = \frac{U}{\ln\!\bigl(R_1/R_2\bigr)}, \quad C_2 = -\,\frac{U\,\ln R_2}{\ln(R_1/R_2)}.
Logo o perfil de velocidade é
u(r) \;=\; U\,\frac{\ln\!\bigl(r/R_2\bigr)}{\ln\!\bigl(R_1/R_2\bigr)}.

Passo 4

O esforço de cisalhamento no fluido é
\tau_{rz}(r) = \mu\,\frac{du}{dr} = \mu\,\frac{C_1}{r} = \mu\,\frac{U}{r\,\ln(R_1/R_2)}.
Em particular, no bastão (em r=R_1):
\tau_{rz}(R_1) = \mu\,\frac{U}{R_1\,\ln(R_1/R_2)}.

Passo 5

O arraste por unidade de comprimento do bastão é a força viscosa total sobre a superfície cilíndrica de raio R_1, dada por
\frac{F}{L} = \underbrace{2\pi R_1}_{\text{perímetro}} \times \tau_{rz}(R_1) = 2\pi R_1 \,\frac{\mu\,U}{R_1\,\ln(R_1/R_2)} = \frac{2\pi\,\mu\,U}{\ln(R_1/R_2)}.í
Como \ln(R_1/R_2)=\ln\bigl((d/2)/(D/2)\bigr)=\ln(d/D)=-\ln(D/d), fica
\frac{F}{L} = \frac{2\pi\,\mu\,U}{-\ln(D/d)} = \frac{2\pi\,\mu\,U}{\ln(D/d)}.

Resposta

\boxed{\frac{F}{L} = \frac{2\pi\,\mu\,U}{\ln\!\bigl(D/d\bigr)}.}

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