(Fer) Os números naturais M e N são escritos, na base 10 , com os mesmos dois algarismos, porém em posições invertidas. A diferença entre o maior e o menor é cinco unidades a mais que o menor deles. Podemos afirmar que o valor de M+N é:
a) 56
b) 48
c) 52
d) 37
e) 44

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma única coisa:
  • Dois números naturais M e N são escritos na base 10 com os mesmos dois algarismos, porém em posições invertidas (um é o inverso digitado do outro).
  • A diferença entre o maior e o menor é cinco unidades a mais que o menor. Em palavras: \text{maior} - \text{menor} = \text{menor} + 5.
  • O que se pede: calcular o valor de M+N.

Passo 2

Vamos representar os dois dígitos por variáveis. Seja a o dígito que ocupa as dezenas do número maior e b o outro dígito. Então, pela escrita decimal:
M = 10a + b,\qquad N = 10b + a.
Explicando: em base 10, um número com dezena a e unidade b vale 10\!\times\!a + b. Como ambos são números de dois algarismos, os dígitos das dezenas não podem ser zero, então a,b\in\{1,2,\dots,9\}. Os dígitos são distintos (caso contrário os números seriam iguais).

Passo 3

Sem perda de generalidade assumimos que a>b, isto é, M é o maior e N o menor (se fosse ao contrário basta trocar nomes). A condição do enunciado vira:
M - N = N + 5.
Substituindo as expressões de M e N:
(10a+b) - (10b+a) = 10b + a + 5.

Passo 4

Agora simplifico passo a passo:
(10a+b) - (10b+a) = 10a + b -10b - a = 9a -9b = 9(a-b).
Então a equação fica
9(a-b) = 10b + a + 5.
Levo todos os termos para um lado para obter uma equação linear em a e b:
9a -9b -10b - a = 5
8a -19b = 5.

Passo 5

Temos a diophantina 8a - 19b = 5 com a,b\in\{1,\dots,9\}. Para encontrar soluções inteiras entre 1 e 9, testamos valores possíveis de a:
  • a=1\Rightarrow 8\cdot1-5=3 não é múltiplo de 19.
  • a=2\Rightarrow 8\cdot2-5=11 não é múltiplo de 19.
  • a=3\Rightarrow 8\cdot3-5=19 e 19/19=1, logo b=1. Isso dá a=3,b=1, que está no intervalo permitido.
  • Testes para a\ge4 dão numeradores maiores que 19 mas que não são múltiplos de 19 no intervalo que resultaria em b entre 1 e 9; portanto a única solução válida com dígitos é a=3 e b=1.

Passo 6

Com a=3 e b=1 os números são
M = 10\cdot 3 + 1 = 31,\qquad N = 10\cdot 1 + 3 = 13.
Uma forma rápida de ver o soma é usar a identidade geral:
M+N = (10a+b)+(10b+a) = 11(a+b).
Substituindo a=3 e b=1:
M+N = 11(3+1) = 11\cdot 4 = 44.
Verificação da condição: M-N = 31-13=18 e N+5=13+5=18, bate certinho.

Resposta

44

Exercícios relacionados