(Fer) Os números naturais M e N são escritos, na base 10 , com os mesmos dois algarismos, porém em posições invertidas. A diferença entre o maior e o menor é cinco unidades a mais que o menor deles. Podemos afirmar que o valor de
é:
a) 56
b) 48
c) 52
d) 37
e) 44
a) 56
b) 48
c) 52
d) 37
e) 44
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma única coisa:
- Dois números naturais
e são escritos na base 10 com os mesmos dois algarismos, porém em posições invertidas (um é o inverso digitado do outro). - A diferença entre o maior e o menor é cinco unidades a mais que o menor. Em palavras:
- O que se pede: calcular o valor de
.
Passo 2
Vamos representar os dois dígitos por variáveis. Seja
o dígito que ocupa as dezenas do número maior e
o outro dígito. Então, pela escrita decimal:
Explicando: em base 10, um número com dezena
e unidade
vale
. Como ambos são números de dois algarismos, os dígitos das dezenas não podem ser zero, então
. Os dígitos são distintos (caso contrário os números seriam iguais).
Passo 3
Sem perda de generalidade assumimos que
, isto é,
é o maior e
o menor (se fosse ao contrário basta trocar nomes). A condição do enunciado vira:
Substituindo as expressões de
e
:
Passo 4
Agora simplifico passo a passo:
Então a equação fica
Levo todos os termos para um lado para obter uma equação linear em
e
:
Passo 5
Temos a diophantina
com
. Para encontrar soluções inteiras entre 1 e 9, testamos valores possíveis de
:
-
não é múltiplo de 19. -
não é múltiplo de 19. -
e , logo . Isso dá , que está no intervalo permitido. - Testes para
dão numeradores maiores que 19 mas que não são múltiplos de 19 no intervalo que resultaria em entre 1 e 9; portanto a única solução válida com dígitos é e .
Passo 6
Com
e
os números são
Uma forma rápida de ver o soma é usar a identidade geral:
Substituindo
e
:
Verificação da condição:
e
, bate certinho.
Resposta
44