Esboce o gráfico de cada função abaixo:
f(x)=-\operatorname{sen}(x)

Passo 1

O enunciado dá a função \;f(x)=-\operatorname{sen}(x)\; e pede que eu esboce o gráfico dela.
Informações fornecidas: a fórmula explícita da função é \;f(x)=-\operatorname{sen}(x)\;. A tarefa é representar graficamente essa função (uma curva no plano xy).

Passo 2

Vou lembrar as características do seno para ter base para o esboço. A função básica \;\operatorname{sen}(x)\; tem:
\text{amplitude }=1,\qquad \text{período }=2\pi,í
os zeros em
x=k\pi\quad(k\in\mathbb{Z}),
e os pontos notáveis em um período [0,2\pi]:
\operatorname{sen}(0)=0,\quad \operatorname{sen}\!\left(\tfrac{\pi}{2}\right)=1,\quad \operatorname{sen}(\pi)=0,\quad \operatorname{sen}\!\left(\tfrac{3\pi}{2}\right)=-1,\quad \operatorname{sen}(2\pi)=0.
Explicação curta: amplitude é a distância máxima ao eixo x (aqui 1), período é a distância em x até a repetição do padrão (aqui 2\pi), e os valores acima são os valores clássicos do seno em ângulos notáveis.

Passo 3

Agora vejo o efeito do sinal negativo: multiplicar por -1 reflete verticalmente o gráfico. Ou seja, cada valor \operatorname{sen}(x) vira -\operatorname{sen}(x). Consequências imediatas:
\text{amplitude continua }1,\qquad \text{período continua }2\pi,í
os zeros permanecem nos mesmos x (porque se \operatorname{sen}(x)=0 então -\operatorname{sen}(x)=0), mas máximos viram mínimos e vice‑versa. Formalmente, também vale a identidade de fase:
-\operatorname{sen}(x)=\operatorname{sen}(x+\pi).
Pequena demonstração da identidade: \operatorname{sen}(x+\pi)=\operatorname{sen} x\cos\pi+\cos x\operatorname{sen}\pi=\operatorname{sen} x(-1)+\cos x\cdot0=-\operatorname{sen} x.

Passo 4

Vou calcular os valores notáveis de \;f(x)=-\operatorname{sen}(x)\; em pontos chave do intervalo [0,2\pi] — isso é útil para esboçar:
f(0)=-\operatorname{sen}(0)=0,
f\!\left(\tfrac{\pi}{2}\right)=-\operatorname{sen}\!\left(\tfrac{\pi}{2}\right)=-1,
f(\pi)=-\operatorname{sen}(\pi)=0,
f\!\left(\tfrac{3\pi}{2}\right)=-\operatorname{sen}\!\left(\tfrac{3\pi}{2}\right)=1,
f(2\pi)=-\operatorname{sen}(2\pi)=0.
Interpretação: no lugar onde \operatorname{sen} tinha +1 agora temos -1, e onde \operatorname{sen} tinha -1 agora temos +1. O gráfico cruza o eixo x nos pontos x=k\pi.

Passo 5

Como esboçar na prática (passo a passo que você pode usar na prova, sem calculadora):
  1. Trace os eixos x e y.
  2. Marque no eixo x os pontos \;0,\tfrac{\pi}{2},\pi,\tfrac{3\pi}{2},2\pi\; (e, se quiser, mais à esquerda e à direita para mostrar repetição).
  3. No eixo y marque -1 e 1 (amplitude).
  4. Plote os pontos calculados: \;(0,0),\;\big(\tfrac{\pi}{2},-1\big),\;(\pi,0),\;\big(\tfrac{3\pi}{2},1\big),\;(2\pi,0)\;.
  5. Ligue esses pontos com uma curva suave senoidal (curva contínua e periódica), passando suavemente pelos pontos e repetindo o padrão para a esquerda e direita.
    Observação: por causa da identidade \;-\operatorname{sen}(x)=\operatorname{sen}(x+\pi)\;, você pode pegar o gráfico de \operatorname{sen}(x) e deslocá‑lo \pi unidades à esquerda para obter o gráfico de -\operatorname{sen}(x).

Passo 6

Propriedades finais e resumo que ajudam a conferir o esboço:
\text{Período: }2\pi,\qquad \text{Amplitude: }1,í
\text{Zeros: }x=k\pi\quad(k\in\mathbb{Z}),
\text{Máximos: }f\!\left(\tfrac{3\pi}{2}+2\pi k\right)=1,á
\text{Mínimos: }f\!\left(\tfrac{\pi}{2}+2\pi k\right)=-1.í
Use esses pontos como “esqueleto” e desenhe a onda senoidal ligando‑os suavemente. Dá para desenhar duas ou três ondas para ficar claro o padrão periódico.

Resposta

Gráfico de \;f(x)=-\operatorname{sen}(x)\;: amplitude 1; período 2\pi; zeros em x=k\pi ( k\in\mathbb{Z}); máximos em x=\tfrac{3\pi}{2}+2\pi k com valor 1; mínimos em x=\tfrac{\pi}{2}+2\pi k com valor -1; equivalente a \;\operatorname{sen}(x+\pi).

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