Em uma festa de aniversário, estão presentes n famílias com pai, mãe e 2 filhos, além de 2 famílias com pai, mãe e 1 filho. Organiza-se uma brincadeira que envolve esforço físico, na qual uma equipe azul enfrentará uma equipe amarela. Para equilibrar a disputa, uma das equipes terá apenas o pai de uma das famílias, enquanto a outra equipe terá 2 pessoas de uma mesma família, não podendo incluir o pai. É permitido que o pai enfrente 2 pessoas de sua própria família. Para que se tenha exatamente 2014 formas distintas de se organizar a brincadeira, o valor de n deverá ser:
A) 17 B) 18 C) 19 D) 20 E) 21

Passo 1

Beleza, vamos recapitular rapidinho o que o exercício pede:
– Temos n famílias com pai, mãe e 2 filhos (4 pessoas cada) e mais 2 famílias com pai, mãe e 1 filho (3 pessoas cada).
– A brincadeira é: de um lado só o pai de uma família, do outro 2 pessoas da mesma família (não pode ser o pai).
– Importante: a cor dos times importa (azul ou amarelo), então é diferente “pai no azul” ou “pai no amarelo”.
Conteúdo: é um probleminha de combinatória básica – escolhas de pessoas e combinação dentro da família (usar ). Vamos precisar contar quantas opções de pai, quantas opções de par, ver que isso dá uma expressão em , igualar a 2014 e resolver.

Passo 2

Primeiro, quantos jeitos de escolher quem vai ser o pai isolado?
Temos famílias grandes + 2 famílias pequenas = possíveis pais.

Passo 3

Agora, quantas maneiras de escolher o par de duas pessoas numa mesma família (sem o pai)?
  • Se escolhemos uma das famílias grandes, há 3 demais membros (mãe + 2 filhos), então escolhemos 2 dentre 3:
    .
  • Se escolhemos uma das 2 famílias pequenas, há 2 membros possíveis (mãe + 1 filho), então
    .
    Logo, total de opções de par = .

Passo 4

Como pai e par podem vir de famílias diferentes ou da mesma, as escolhas são independentes:
– ​ formas de escolher o pai
– ​ formas de escolher o par
Então, sem considerar cor, daria partidas.

Passo 5

Mas lembrando: a cor importa! O pai pode ficar no time azul ou no amarelo, o que dobra as possibilidades.
Portanto o total de maneiras é
2 times (n+2),(3n+2)
O exercício pede que isso seja exatamente 2014:
2,(n+2),(3n+2) = 2014 Longrightarrow (n+2),(3n+2) = 1007

Passo 6

Agora resolvemos 1007 = 19 times 53 .
Fatorando 1007, vemos que
n+2 = 19 e 3n+2 = 53
Então, para inteiro positivo, faz sentido igualar:
Daí .

Resposta

O valor de é 17.
Alternativa A) 17.

Exercícios relacionados