Um número inteiro não negativo é dito palíndromo se ele, ao ser lido da esquerda para a direita, for igual quando lido da direita para a esquerda. Por exemplo, 121, 0, 2002 e 4 são palíndromos. O número de palíndromos que são menores que 1000000 é:
A) 900
B) 1991
C) 1993
D) 1999
E) 2000
A) 900
B) 1991
C) 1993
D) 1999
E) 2000
Passo 1
O enunciado pede para contar quantos números inteiros não-negativos menores que 1 000 000 são palíndromos (ou seja, lidos da esquerda para a direita dão o mesmo número que lidos da direita para a esquerda).
Conteúdo: combinatória básica e definição de palíndromo.
O que precisamos: para cada quantidade de dígitos (de 1 até 6), ver quantas formações simétricas existem e depois somar tudo.
Conteúdo: combinatória básica e definição de palíndromo.
O que precisamos: para cada quantidade de dígitos (de 1 até 6), ver quantas formações simétricas existem e depois somar tudo.
Passo 2
Palíndromos de 1 dígito (de 0 a 9):
Qualquer um dos dígitos 0,1,2,…,9 lido ao contrário é ele mesmo.
Logo, há 10 palíndromos de 1 dígito.
Qualquer um dos dígitos 0,1,2,…,9 lido ao contrário é ele mesmo.
Logo, há 10 palíndromos de 1 dígito.
Passo 3
Palíndromos de 2 dígitos (ímpares do tipo “aa”):
Para formar um número “aa” temos 9 opções para (1 a 9), pois não podemos começar com 0.
Então, há 9 palíndromos de 2 dígitos.
Para formar um número “aa” temos 9 opções para
Então, há 9 palíndromos de 2 dígitos.
Passo 4
Palíndromos de 3 dígitos (do tipo “aba”):
-
(primeiro e último dígito) pode ser de 1 a 9 → 9 escolhas. -
(dígito do meio) pode ser de 0 a 9 → 10 escolhas.
Pelo princípio multiplicativo, total =.
Passo 5
Palíndromos de 4 dígitos (do tipo “abba”):
-
: 1 a 9 → 9 escolhas. -
: 0 a 9 → 10 escolhas.
Total =.
Passo 6
Palíndromos de 5 dígitos (do tipo “abcba”):
-
: 1 a 9 → 9 escolhas. -
: 0 a 9 → 10 escolhas. -
: 0 a 9 → 10 escolhas.
Total =.
Passo 7
Palíndromos de 6 dígitos (do tipo “abccba”):
-
: 1 a 9 → 9 escolhas. -
: 0 a 9 → 10 escolhas. -
: 0 a 9 → 10 escolhas.
Total =.
Passo 8
Agora somamos todas as quantidades encontradas:
.
Resposta
Existem 1999 palíndromos menores que 1 000 000. Portanto, a alternativa certa é a letra D) 1999.