Quantos números de 4 algarismos podemos formar com o algarismo 2 aparecendo pelo menos uma vez?

Passo 1

Beleza, a gente tem que descobrir quantos números de 4 algarismos (ou seja, de 1000 a 9999) dá pra formar usando dígitos de 0 a 9, mas com a condição de que o dígito 2 apareça pelo menos uma vez.
Conteúdo: princípio fundamental da contagem e a ideia de complemento (ou “1 – probabilidade de não ter nenhum 2”). Vamos precisar:
  • Saber contar quantas sequências de dígitos formam números de 4 algarismos.
  • Saber usar a regra do complemento pra contar “pelo menos uma vez”.

Passo 2

Primeiro, conta quantos números de 4 algarismos existem no total (sem restrição de “ter 2” ou não).
  • O primeiro dígito pode ser de 1 a 9 (não pode ser zero), então são 9 escolhas.
  • Cada um dos outros 3 dígitos pode ser de 0 a 9, ou seja, 10 escolhas cada.
    Pelo princípio multiplicativo:
Total = 9 times 10 times 10 times 10 = 9 times 10^3 = 9000

Passo 3

Agora, conta quantos desses números NÃO TÊM o dígito 2 nenhuma vez. Isso é o complemento do que queremos, depois a gente subtrai.
  • Para não ter 2, o primeiro dígito pode ser de 1 a 9, mas tirando o 2, sobra 8 opções.
  • Cada um dos outros 3 dígitos pode ser de 0 a 9, mas tirando o 2, sobra 9 opções cada.
    Então:
Sem nenhum 2 = 8 times 9 times 9 times 9 = 8 times 9^3 = 8 times 729 = 5832

Passo 4

Agora usamos o complemento:
Com pelo menos um 2 = Total - Sem nenhum 2 = 9000 - 5832 = 3168

Resposta

3168 números de 4 algarismos têm o dígito 2 aparecendo pelo menos uma vez.

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