O tempo necessário para fazer a revisão em um automóvel tem distribuição exponencial com média igual a 2 horas. Quando a revisão é feita em menos de 3 horas, o cliente paga um valor fixo de 200 reais. Caso contrário, ele paga pelo tempo adicional, na base de 50 reais por cada hora excedente. Por exemplo, se a revisão dura 3 horas e meia, ele paga 200+0,5 times 50=225 reais.
a) Qual é a probabilidade de que um cliente pague somente 200 reais?
b) Qual é o preço médio de uma revisão?

Passo 1

O tempo T de revisão segue uma distribuição exponencial com média igual a 2 horas. Logo, sua taxa é \r
lambda = 1média = 12 (h^-1)é\r
O cliente paga\r
  • um valor fixo de 200 reais se T<=3, \r
  • caso T>3, paga 200 + 50,(T-3) reais. \r
    Precisamos calcular:\r
  1. Pr(pagamento=200), isto é, Pr(T<=3).\r
  2. O valor esperado do pagamento E[pagamento].

Passo 2

Para a parte (a), basta notar que o cliente paga só 200 reais quando T<=3. Como TsimExpo(lambda), \r
Pr(T<=3)=1-Pr(T>3)=1-e^-lambdacdot3\r
Substituindo lambda=tfrac12, temos\r
Pr(pagamento=200)=1 - e^-tfrac12cdot3=1 - e^-tfrac32

Passo 3

Para a parte (b), escrevemos o custo \r
Logo,\r
\r
Reconhecemos que para (T\sim\mathrm{Expo}(\lambda)] vale a fórmula de excesso:\r

Passo 4

Aplicando com a=3 e lambda=tfrac12, temos\r
El[(T-3)+r] = e^-tfrac12cdot3tfrac12 = 2,e^-tfrac32 \r
Portanto\r
E[C] = 200 + 50 cdot 2,e^-tfrac32 = 200 + 100,e^-tfrac32 approx 200 + 100cdot0,2231 approx 222,31 reais

Resposta

(a) 1 - e^-tfrac32 \r
(b) 200 + 100,e^-tfrac32approx222,31 reais

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