A função de taxa de falha de um certo equipamento, com tempo de vida expresso em anos, é dada por
, para
.
a) Qual é a probabilidade aproximada de que um equipamento que acaba de completar 6 meses de uso falhe no próximo dia?
b) Qual é a função de distribuição acumulada do tempo de vida do equipamento? Qual é o nome da distribuição? Quais são seus parâmetros?
a) Qual é a probabilidade aproximada de que um equipamento que acaba de completar 6 meses de uso falhe no próximo dia?
b) Qual é a função de distribuição acumulada do tempo de vida do equipamento? Qual é o nome da distribuição? Quais são seus parâmetros?
Passo 1
O enunciado nos dá a taxa de falha (hazard) de um equipamento como
e pede em (a) a probabilidade aproximada de falha no próximo dia após
meses, e em (b) a função de distribuição acumulada
, o nome da distribuição e seus parâmetros. Vamos usar a relação entre hazard e probabilidade de falha instantânea para (a), e para (b) a conexão entre hazard, função de sobrevivência e CDF.
Passo 2
Para um intervalo pequeno
a probabilidade de falha em
é aproximada por
Aqui
meses
anos e
dia
ano. Logo
e
Passo 3
Para achar a função de distribuição acumulada usamos
onde
Então
e a CDF é
Passo 4
A densidade correspondente é
que é exatamente a densidade de uma distribuição Gama com parâmetro de forma
e escala
. Como
é inteiro, também chamamos de distribuição de Erlang de ordem 2 e taxa
.
Resposta
a)
.
b)
b)
É uma distribuição Gama (Erlang) com forma
e escala
.