A função de taxa de falha de um certo equipamento, com tempo de vida expresso em anos, é dada por lambda(t)=tt+1, para t >= 0.
a) Qual é a probabilidade aproximada de que um equipamento que acaba de completar 6 meses de uso falhe no próximo dia?
b) Qual é a função de distribuição acumulada do tempo de vida do equipamento? Qual é o nome da distribuição? Quais são seus parâmetros?

Passo 1

O enunciado nos dá a taxa de falha (hazard) de um equipamento como
lambda(t)=tt+1, t>=0,
e pede em (a) a probabilidade aproximada de falha no próximo dia após t=6 meses, e em (b) a função de distribuição acumulada F(t), o nome da distribuição e seus parâmetros. Vamos usar a relação entre hazard e probabilidade de falha instantânea para (a), e para (b) a conexão entre hazard, função de sobrevivência e CDF.

Passo 2

Para um intervalo pequeno De<a t a probabilidade de falha em [t,t+De<a t] é aproximada por
Pl(tto t+De<a tr)approx lambda(t),De<a t
Aqui t=6 meses =0,5 anos e De<a t=1 dia =1/365 ano. Logo
lambda(0,5)=0,50,5+1=13,
e
Papprox 13times1365=13cdot365approx0,00091

Passo 3

Para achar a função de distribuição acumulada usamos
S(t)=expl(-integral0^tlambda(u),dur),
onde
integral0^tuu+1,du =integral0^tl(1-1u+1r)du =l[u-ln(u+1)r]0^t =t-ln(1+t)
Então
S(t)=expl(-t+ln(1+t)r)=(1+t)e^-t,
e a CDF é
F(t)=1-S(t)=1-(1+t)e^-t

Passo 4

A densidade correspondente é
f(t)=F'(t)=t,e^-t,
que é exatamente a densidade de uma distribuição Gama com parâmetro de forma alpha=2 e escala theta=1. Como alpha é inteiro, também chamamos de distribuição de Erlang de ordem 2 e taxa 1.

Resposta

a) Papprox0,00091.
b)
F(t)=1-(1+t)e^-t, t>=0
É uma distribuição Gama (Erlang) com forma alpha=2 e escala theta=1.

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