(CMRJ 2011) Certo dia, Claudete e Alexandre, professores em uma unidade do Ministério da Defesa, receberam alguns recursos sobre provas de um processo externo de seleção para emitir pareceres e os dividiram entre si na razão inversa de suas respectivas idades: 35 e 40 anos. Na execução dessa tarefa, a capacidade operacional de Alexandre foi 75% da de Claudete e ambos a iniciaram quando eram decorridos \frac{11}{32} do dia, trabalhando ininterruptamente até completála. Se Alexandure levou 3 horas e 30 minutos para terminar a sua parte, então Claudete completou a parte dela às
a) 10 horas e 45 minutos.
b) 11 horas.
c) 11 horas e 15 minutos.
d) 12 horas e 15 minutos.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
O enunciado fornece:
  • As idades: Claudete 35 anos e Alexandre 40 anos.
  • Os recursos (o trabalho total) foram divididos entre eles na razão inversa das idades.
  • A capacidade operacional de Alexandre foi 75\% da de Claudete.
  • Ambos iniciaram o trabalho quando já se tinham decorridos \tfrac{11}{32} do dia.
  • Trabalharam ininterruptamente até completar cada um a sua parte.
  • Alexandre levou 3 horas e 30 minutos para terminar a sua parte.
O enunciado pede:
  • Determinar a hora (horas e minutos) em que Claudete completou a parte dela, entre as opções dadas.

Passo 2

Calcular o horário de início do trabalho a partir da fração do dia.
Um dia tem 24 horas. O início ocorreu em
\frac{11}{32}\cdot 24 = 11\cdot\frac{24}{32}=11\cdot\frac{3}{4}=8{,}25\\ \text{horas}.
Converter 8{,}25 horas em horas e minutos: a parte decimal 0{,}25 hora é
0{,}25\cdot 60 = 15\\ \text{minutos}.
Logo, o início foi às 8 horas e 15 minutos ( 8{:}15).

Passo 3

Determinar a divisão do trabalho entre Claudete e Alexandre a partir da razão inversa das idades.
“Na razão inversa das idades” significa que a parte de cada um é proporcional ao inverso da sua idade. Assim
\text{parte de Claudete}:\text{parte de Alexandre}=\frac{1}{35}:\frac{1}{40}.
Simplificando essa razão:
\frac{1}{35}:\frac{1}{40}=\frac{40}{35}=\frac{8}{7}.
Portanto, se o trabalho total valer 1 (uma unidade), as frações são:
\text{Claudete}=\frac{8}{8+7}=\frac{8}{15},\qquad \text{Alexandre}=\frac{7}{15}.

Passo 4

Modelar velocidades de trabalho (capacidades) e tempos.
Seja r_C a taxa (unidades de trabalho por hora) de Claudete e r_A a taxa de Alexandre. O enunciado diz que Alexandre tem 75\% da capacidade de Claudete, ou seja,
r_A=0{,}75\,r_C=\frac{3}{4}r_C.
O tempo que cada um leva é trabalho dividido pela sua taxa:
t_C=\frac{\text{trabalho de Claudete}}{r_C}=\frac{8/15}{r_C}, \qquad t_A=\frac{\text{trabalho de Alexandre}}{r_A}=\frac{7/15}{r_A}.
Substituindo r_A=\tfrac{3}{4}r_C em t_A obtemos
t_A=\frac{7/15}{\tfrac{3}{4}r_C}=\frac{7}{15}\cdot\frac{4}{3}\cdot\frac{1}{r_C}=\frac{28}{45}\cdot\frac{1}{r_C}.

Passo 5

Usar a informação do tempo de Alexandre para achar r_C e depois t_C.
Sabemos que Alexandre levou 3 horas e 30 minutos, isto é 3{,}5 horas ou, em fração, \tfrac{7}{2} horas. Assim
\frac{28}{45}\cdot\frac{1}{r_C}= \frac{7}{2}.
Resolver para r_C:
\frac{28}{45}=\frac{7}{2}\,r_C \quad\Rightarrow\quad r_C=\frac{28}{45}\cdot\frac{2}{7}=\frac{56}{315}=\frac{8}{45}\\ \text{(unidades/h)}.
Agora o tempo de Claudete:
t_C=\frac{8/15}{r_C}=\frac{8}{15}\cdot\frac{45}{8}=\frac{45}{15}=3\\ \text{horas}.

Passo 6

Determinar o horário em que Claudete terminou.
Claudete começou às 8{:}15 e trabalhou 3 horas. Então terminou às
8{:}15 + 3\\ \text{h} = 11{:}15.

Passo 7

Verificação rápida de consistência (sanidade dos números).
  • Alexandre teve taxa r_A=\tfrac{3}{4}r_C=\tfrac{3}{4}\cdot\frac{8}{45}=\frac{6}{45}=\frac{2}{15} unidades/h.
  • Trabalho de Alexandre \frac{7}{15} dividido por r_A=\frac{2}{15} dá tempo \frac{7/15}{2/15}=\frac{7}{2}=3{,}5 h, que confere com o dado. Então tudo está consistente.

Resposta

11\\ \text{horas e}\\\ 15\\ \text{minutos}.

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