(FGV 2016 - SEDUC PE) Um retângulo com lados de medidas 3 cm e 4 cm está inscrito em um semicírculo e tem um de seus maiores lados sobre o diâmetro do semicírculo. A área do semicírculo, em centímetros quadrados, é:
(a)
(b)
(c)
(d)
(a)
(b)
(c)
(d)
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
- Dado: um retângulo inscrito em um semicírculo.
- O retângulo tem lados de medidas
e . - Um dos maiores lados (ou seja, o lado de
) está sobre o diâmetro do semicírculo. - Pedido: determinar a área do semicírculo, em
.
Passo 2
Escolher um sistema de coordenadas simples para modelar a situação (isso ajuda a usar fórmulas conhecidas).
- Coloco o diâmetro do semicírculo sobre o eixo
, com o centro do semicírculo na origem . - Assim a circunferência associada tem equação
onde
é o raio do círculo (e do semicírculo).
- O semicírculo corresponde à parte com
.
Explicação curta: a equação
vem da definição de círculo centrado na origem: todos os pontos a distância
do centro.
Passo 3
Representar as coordenadas dos vértices do retângulo no sistema escolhido.
- Como o lado maior de
está sobre o diâmetro (e o diâmetro é o eixo ), os dois vértices inferiores do retângulo têm coordenadas e com
- Os vértices superiores correspondentes estarão em
e , porque a altura do retângulo é .
Passo 4
Usar o fato de que os vértices superiores pertencem ao semicirculo (logo pertencem à circunferência).
- Cada vértice superior satisfaz a equação do círculo, então
- Subtraindo essas igualdades vemos que
. Logo
Comentário:
não pode ocorrer porque implicaria largura zero; portanto deve ser
. Isso significa que os pontos são simétricos em relação à origem (o retângulo está centrado no semicírculo).
Passo 5
Determinar
e
a partir da largura
.
- Como
e , substituindo obtemos
- Portanto
. Os vértices inferiores são e , e os superiores são e .
Passo 6
Calcular o raio
usando um dos vértices superiores.
- Usando
na equação do círculo:
- Logo
.
Passo 7
Calcular a área do semicírculo.
- A área de um círculo de raio
é . Como é semicírculo, a área vale metade disso:
Resposta
(a)