(FGV 2016 - SEDUC PE) Um retângulo com lados de medidas 3 cm e 4 cm está inscrito em um semicírculo e tem um de seus maiores lados sobre o diâmetro do semicírculo. A área do semicírculo, em centímetros quadrados, é:
(a) \frac{13 \pi}{2}
(b) \frac{11 \pi}{2}
(c) 5 \pi
(d) \frac{7 \pi}{2}

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dado: um retângulo inscrito em um semicírculo.
  • O retângulo tem lados de medidas 3\\ \text{cm} e 4\\ \text{cm}.
  • Um dos maiores lados (ou seja, o lado de 4\\ \text{cm}) está sobre o diâmetro do semicírculo.
  • Pedido: determinar a área do semicírculo, em \text{cm}^2.

Passo 2

Escolher um sistema de coordenadas simples para modelar a situação (isso ajuda a usar fórmulas conhecidas).
  • Coloco o diâmetro do semicírculo sobre o eixo x, com o centro do semicírculo na origem (0,0).
  • Assim a circunferência associada tem equação
x^{2}+y^{2}=r^{2},
onde r é o raio do círculo (e do semicírculo).
  • O semicírculo corresponde à parte com y\ge0.
Explicação curta: a equação x^{2}+y^{2}=r^{2} vem da definição de círculo centrado na origem: todos os pontos a distância r do centro.

Passo 3

Representar as coordenadas dos vértices do retângulo no sistema escolhido.
  • Como o lado maior de 4\\ \text{cm} está sobre o diâmetro (e o diâmetro é o eixo x), os dois vértices inferiores do retângulo têm coordenadas (x_1,0) e (x_2,0) com
x_{2}-x_{1}=4.
  • Os vértices superiores correspondentes estarão em (x_1,3) e (x_2,3), porque a altura do retângulo é 3\\ \text{cm}.

Passo 4

Usar o fato de que os vértices superiores pertencem ao semicirculo (logo pertencem à circunferência).
  • Cada vértice superior satisfaz a equação do círculo, então
x_{1}^{2}+3^{2}=r^{2} \qquad\text{e}\qquad x_{2}^{2}+3^{2}=r^{2}.
  • Subtraindo essas igualdades vemos que x_{1}^{2}=x_{2}^{2}. Logo
x_{2}=\pm x_{1}.
Comentário: x_{2}=x_{1} não pode ocorrer porque implicaria largura zero; portanto deve ser x_{2}=-x_{1}. Isso significa que os pontos são simétricos em relação à origem (o retângulo está centrado no semicírculo).

Passo 5

Determinar x_{1} e x_{2} a partir da largura 4.
  • Como x_{2}=-x_{1} e x_{2}-x_{1}=4, substituindo obtemos
-x_{1}-x_{1}=4 \quad\Rightarrow\quad -2x_{1}=4 \quad\Rightarrow\quad x_{1}=-2.
  • Portanto x_{2}=2. Os vértices inferiores são (-2,0) e (2,0), e os superiores são (-2,3) e (2,3).

Passo 6

Calcular o raio r usando um dos vértices superiores.
  • Usando (2,3) na equação do círculo:
r^{2}=2^{2}+3^{2}=4+9=13.
  • Logo r^{2}=13.

Passo 7

Calcular a área do semicírculo.
  • A área de um círculo de raio r é \pi r^{2}. Como é semicírculo, a área vale metade disso:
\text{área do semicírculo}=\tfrac{1}{2}\pi r^{2}=\tfrac{1}{2}\pi\cdot 13=\tfrac{13\pi}{2}.áí

Resposta

(a) \dfrac{13\pi}{2}

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