(IBFC, 2012 - PARAÍBA) O ângulo agudo formado entre os lados medindo 2 cm e 3 cm de um triângulo que tem área medindo \frac{3 \sqrt{3}}{2} \mathrm{~cm}^{2} é igual a:
(a) 45^{\circ}
(b) 60^{\circ}
(c) 30^{\circ}

Passo 1

O enunciado nos dá:
  • Dois lados de um triângulo medem \,2\\ \text{cm}\, e \,3\\ \text{cm}\,.
  • A área do triângulo mede \,\dfrac{3\sqrt{3}}{2}\\ \text{cm}^2\,.
    O que é pedido:
  • Determinar o ângulo agudo formado entre os lados que medem \,2\\ \text{cm}\, e \,3\\ \text{cm}\,.

Passo 2

Fórmula útil (e por que ela vale): a área de um triângulo pode ser calculada a partir de dois lados e o ângulo entre eles. Se denominarmos os lados adjacentes ao ângulo por a e b e o ângulo entre eles por \theta, então
\text{Área}=\tfrac{1}{2}ab\sin\theta.Á
Explicação intuitiva: tomar b como base; a altura relativa a essa base é a projeção de a perpendicular a b, que vale a\sin\theta. A área é metade da base vezes a altura, ou seja \tfrac{1}{2}b\cdot(a\sin\theta)=\tfrac{1}{2}ab\sin\theta.

Passo 3

Aplicando a fórmula ao nosso caso: a=2, b=3 e a área é \dfrac{3\sqrt{3}}{2}. Então
\tfrac{1}{2}\cdot 2\cdot 3\cdot \sin\theta = \dfrac{3\sqrt{3}}{2}.
Calcule o lado esquerdo: \tfrac{1}{2}\cdot 2\cdot 3 = 3. Portanto obtemos a equação
3\sin\theta = \dfrac{3\sqrt{3}}{2}.

Passo 4

Isolando \sin\theta:
\sin\theta = \dfrac{3\sqrt{3}}{2}\cdot \dfrac{1}{3} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}.
Agora precisamos achar \theta tal que \sin\theta=\dfrac{\sqrt{3}}{2}. Os valores no intervalo [0^\circ,180^\circ] que satisfazem isso são \theta=60^\circ e \theta=120^\circ.

Passo 5

O enunciado pede o ângulo agudo entre os lados; portanto escolhemos o valor agudo entre as soluções. Logo
\theta = 60^\circ.
Verificação rápida: \tfrac{1}{2}\cdot 2\cdot 3\cdot \sin 60^\circ = 3\cdot \tfrac{\sqrt{3}}{2} = \dfrac{3\sqrt{3}}{2}, que é a área dada — bate certinho!

Resposta

60^\circ

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