Usando integração por partes calcule as integrais abaixo:
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral
e exige que a solução utilize integração por partes. As informações relevantes são apenas a expressão integranda e a indicação do método a ser usado. Não há condições iniciais nem imagens.
Passo 2
Observação útil antes de aplicar integração por partes: a expressão tem fatores do tipo
e
. Para simplificar a escrita e as contas, faço a substituição auxiliar
Assim:
A integral fica em
:
Passo 3
Vou aplicar integração por partes na integral em
. Primeiro lembro a fórmula e explico o que cada símbolo significa:
Aqui
é uma função que escolhemos para derivar (gera
), e
é outra parte que integramos para obter
. A escolha de
e
é estratégica: geralmente escolhe-se
tal que
seja mais simples que
.
Passo 4
Escolha de
e
para a integral
:
- Tomo
. Então . - Tomo
. Então preciso integrar para obter .
Calculo de
:
Passo 5
Agora aplico a fórmula da integração por partes:
Substituindo
,
e
:
Passo 6
Simplifico o integrando que aparece no segundo termo:
Portanto
Passo 7
Separo a integral em duas integrais simples:
Agora calculo as integrais de potências, que são diretas pela regra
.
Passo 8
Calcule cada integral:
Substituindo:
Passo 9
Faço a álgebra para combinar termos semelhantes. Primeiro expandir o produto inicial:
Agora os coeficientes dos termos obtidos:
E para os
:
Assim
Passo 10
Volto à variável original
usando
. Portanto