Usando integração por partes calcule as integrais abaixo:
\int(t+1)^{5}(t+5) d t

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral
\int (t+1)^{5}(t+5)\,dt
e exige que a solução utilize integração por partes. As informações relevantes são apenas a expressão integranda e a indicação do método a ser usado. Não há condições iniciais nem imagens.

Passo 2

Observação útil antes de aplicar integração por partes: a expressão tem fatores do tipo t+1 e t+5. Para simplificar a escrita e as contas, faço a substituição auxiliar
x = t+1.
Assim:
t = x-1, \qquad t+5 = (x-1)+5 = x+4, \qquad dt = dx.
A integral fica em x:
\int (t+1)^{5}(t+5)\,dt = \int x^{5}(x+4)\,dx.

Passo 3

Vou aplicar integração por partes na integral em x. Primeiro lembro a fórmula e explico o que cada símbolo significa:
\int u\,dv = u v - \int v\,du.
Aqui u é uma função que escolhemos para derivar (gera du), e dv é outra parte que integramos para obter v. A escolha de u e dv é estratégica: geralmente escolhe-se u tal que du seja mais simples que u.

Passo 4

Escolha de u e dv para a integral \displaystyle \int x^{5}(x+4)\,dx:
  • Tomo \displaystyle u = x^{5}. Então \displaystyle du = 5x^{4}\,dx.
  • Tomo \displaystyle dv = (x+4)\,dx. Então preciso integrar \displaystyle dv para obter v.
Calculo de v:
v=\int (x+4)\,dx = \int x\,dx + \int 4\,dx = \frac{x^{2}}{2} + 4x.

Passo 5

Agora aplico a fórmula da integração por partes:
\int x^{5}(x+4)\,dx = u v - \int v\,du.
Substituindo u, v e du:
\int x^{5}(x+4)\,dx = x^{5}\left(\frac{x^{2}}{2}+4x\right) - \int \left(\frac{x^{2}}{2}+4x\right)\cdot 5x^{4}\,dx.

Passo 6

Simplifico o integrando que aparece no segundo termo:
\left(\frac{x^{2}}{2}+4x\right)\cdot 5x^{4} =5\left(\frac{x^{2}}{2}\right)x^{4}+5\cdot 4x\cdot x^{4} =\frac{5}{2}x^{6}+20x^{5}.
Portanto
\int x^{5}(x+4)\,dx = x^{5}\left(\frac{x^{2}}{2}+4x\right) - \int\left(\frac{5}{2}x^{6}+20x^{5}\right)\,dx.

Passo 7

Separo a integral em duas integrais simples:
\int x^{5}(x+4)\,dx = x^{5}\left(\frac{x^{2}}{2}+4x\right) - \frac{5}{2}\int x^{6}\,dx - 20\int x^{5}\,dx.
Agora calculo as integrais de potências, que são diretas pela regra \displaystyle \int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}+C.

Passo 8

Calcule cada integral:
\int x^{6}\,dx = \frac{x^{7}}{7},\qquad \int x^{5}\,dx = \frac{x^{6}}{6}.
Substituindo:
\int x^{5}(x+4)\,dx = x^{5}\left(\frac{x^{2}}{2}+4x\right) - \frac{5}{2}\cdot\frac{x^{7}}{7} - 20\cdot\frac{x^{6}}{6} + C.

Passo 9

Faço a álgebra para combinar termos semelhantes. Primeiro expandir o produto inicial:
x^{5}\left(\frac{x^{2}}{2}+4x\right)=\frac{x^{7}}{2}+4x^{6}.
Agora os coeficientes dos termos obtidos:
\frac{x^{7}}{2} - \frac{5}{2}\cdot\frac{x^{7}}{7} = \left(\frac{1}{2}-\frac{5}{14}\right)x^{7} = \left(\frac{7}{14}-\frac{5}{14}\right)x^{7} =\frac{2}{14}x^{7} =\frac{x^{7}}{7}.
E para os x^{6}:
4x^{6} - 20\cdot\frac{x^{6}}{6} =4x^{6} - \frac{20}{6}x^{6} =4x^{6} - \frac{10}{3}x^{6} =\left(4-\frac{10}{3}\right)x^{6} =\frac{12-10}{3}x^{6} =\frac{2}{3}x^{6}.
Assim
\int x^{5}(x+4)\,dx = \frac{x^{7}}{7} + \frac{2}{3}x^{6} + C.

Passo 10

Volto à variável original t usando x=t+1. Portanto
\int (t+1)^{5}(t+5)\,dt = \frac{(t+1)^{7}}{7} + \frac{2}{3}(t+1)^{6} + C.

Resposta

\displaystyle \frac{(t+1)^{7}}{7}+\frac{2}{3}(t+1)^{6}+C

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