4- Verifique se a curva \vec{r}(t)=\left(t_{1}-t^{3}-t+1, t^{3}\right) é plana. Em caso afirmativo, determine - plano que a contém.

Passo 1

Enunciado e dados dados: a curva é \vec{r}(t)=\left(t_{1}-t^{3}-t+1,\;t^{3}\right). O que o problema pede:
  1. Verificar se a curva é plana (isto é, se todos os pontos da curva estão contidos em algum plano).
  2. Se for plana, determinar o plano que a contém.
Informações relevantes fornecidas:
  • A curva está dada em forma paramétrica com parâmetro t.
  • As componentes apresentadas são duas coordenadas: a primeira é t_{1}-t^{3}-t+1 e a segunda é t^{3}.
  • Não há nenhuma outra informação adicional no enunciado.

Passo 2

Interpretação e simplificação inicial da primeira coordenada: normalmente t_{1} aqui representa o próprio parâmetro t (provavelmente era uma notação para a primeira potência de t). Então vamos tratar t_{1}=t. Substituindo, a primeira componente fica
t_{1}-t^{3}-t+1 = t - t^{3} - t + 1.
Agora simplifico os termos iguais t e -t:
t - t^{3} - t + 1 = 1 - t^{3}.

Passo 3

Escrevo a curva com as componentes simplificadas. Assim, para todo t,
\vec{r}(t)=\bigl(x(t),\,y(t)\bigr)=\bigl(1 - t^{3},\;t^{3}\bigr).
Aqui fiz a identificação x(t)=1-t^{3} e y(t)=t^{3}. (Observação: a curva está dada com duas coordenadas; se quisermos considerá-la como curva em \mathbb{R}^{3} podemos interpretá-la como (x(t),y(t),0).)

Passo 4

Procuro uma relação algébrica entre x(t) e y(t) que valha para todo t. Somando as duas componentes:
x(t)+y(t)=(1-t^{3})+t^{3}=1.
Logo para todo t vale a igualdade
x(t)+y(t)=1.

Passo 5

Interpretação geométrica da igualdade encontrada: a equação x+y=1 define uma reta no plano \mathbb{R}^{2}. Se considerarmos a curva como subconjunto de \mathbb{R}^{3} (colocando terceira coordenada z=0), a mesma relação x+y=1 define o plano em \mathbb{R}^{3}
\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^{3}\mid x+y=1\}.
Qualquer ponto da curva satisfa z x+y=1, portanto todos os pontos da curva pertencem a esse plano. Outra maneira de ver isso é dizer que existe uma relação linear não trivial 1\cdot x + 1\cdot y + 0\cdot z = 1 satisfeita por todas as coordenadas da curva; isso é exatamente a equação de um plano.

Passo 6

Conclusão sobre planitude: como encontramos uma equação de plano que é satisfeita por todas as coordenadas da curva, a curva é plana. O plano que a contém pode ser escrito de forma explícita e também por um vetor normal. O vetor normal ao plano é \vec{n}=(1,1,0) e a equação normal é
x+y=1.
Se preferir a descrição como conjunto em \mathbb{R}^{3}:
\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^{3}\mid x+y=1\}.

Resposta

Sim.
\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^{3}\mid x+y=1\}

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