4- Verifique se a curva
é plana. Em caso afirmativo, determine - plano que a contém.
Passo 1
Enunciado e dados dados: a curva é
. O que o problema pede:
- Verificar se a curva é plana (isto é, se todos os pontos da curva estão contidos em algum plano).
- Se for plana, determinar o plano que a contém.
Informações relevantes fornecidas:
- A curva está dada em forma paramétrica com parâmetro
. - As componentes apresentadas são duas coordenadas: a primeira é
e a segunda é . - Não há nenhuma outra informação adicional no enunciado.
Passo 2
Interpretação e simplificação inicial da primeira coordenada: normalmente
aqui representa o próprio parâmetro
(provavelmente era uma notação para a primeira potência de
). Então vamos tratar
. Substituindo, a primeira componente fica
Agora simplifico os termos iguais
e
:
Passo 3
Escrevo a curva com as componentes simplificadas. Assim, para todo
,
Aqui fiz a identificação
e
. (Observação: a curva está dada com duas coordenadas; se quisermos considerá-la como curva em
podemos interpretá-la como
.)
Passo 4
Procuro uma relação algébrica entre
e
que valha para todo
. Somando as duas componentes:
Logo para todo
vale a igualdade
Passo 5
Interpretação geométrica da igualdade encontrada: a equação
define uma reta no plano
. Se considerarmos a curva como subconjunto de
(colocando terceira coordenada
), a mesma relação
define o plano em
Qualquer ponto da curva satisfa z
, portanto todos os pontos da curva pertencem a esse plano. Outra maneira de ver isso é dizer que existe uma relação linear não trivial
satisfeita por todas as coordenadas da curva; isso é exatamente a equação de um plano.
Passo 6
Conclusão sobre planitude: como encontramos uma equação de plano que é satisfeita por todas as coordenadas da curva, a curva é plana. O plano que a contém pode ser escrito de forma explícita e também por um vetor normal. O vetor normal ao plano é
e a equação normal é
Se preferir a descrição como conjunto em
:
Resposta
Sim.