(4,0 Pt.) Secaram-se as faces de uma placa de madeira de dimensões ( 0,25 \times 20 \times 40) \mathrm{cm}^{3} a 40^{\circ} \mathrm{C} e 1 atm . A umidade de equilíbrio era 9,0 \% e o coeficiente efetivo de difusão D_{\text {ef }}=0,5 \times 10^{-5} \mathrm{~cm}^{2} / \mathrm{s}. Qual foi o tempo necessário para reduzir a umidade média de 16,6 \% para 13,0 \% ? Faça 0 exercício considerando a série
\bar{\theta}=\bar{\theta}\left(F o_{M}\right)=2 \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{\gamma_{n}^{2}} e^{\left(-\gamma_{n}^{2} F o_{M}\right)}
truncada no primeiro termo.
Motivação é aquilo que te faz começar. Hábito é o que te faz continuar! Boa prova!

Passo 1

O enunciado pede o tempo necessário para reduzir a umidade média de 16,6\% para 13,0\% numa placa de madeira cujas faces foram secas a 40^\circ\mathrm{C} e 1\\ \mathrm{atm}. Dados fornecidos:
\text{dimensões: }(0,25\times20\times40)\\ \mathrm{cm}^3õ
\text{umidade de equilíbrio }X_e=9,0\%í
\text{coeficiente efetivo de difusão }D_{ef}=0,5\times10^{-5}\\ \mathrm{cm}^2/\mathrm{s}ã
\text{umidade média inicial }\bar{X}_0=16,6\%é
\text{umidade média final }\bar{X}=13,0\%é
Observação geométrica usada (padrão para placas/chapas): a espessura é 0,25\\ \mathrm{cm}; a secagem ocorre pelas duas faces grandes, portanto o problema é unidimensional através da espessura, com meia-espessura
L=\frac{0,25}{2}=0,125\\ \mathrm{cm}.
A série a usar (fornecida) é
\bar{\theta}=\bar{\theta}\left(Fo_M\right)=2\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{\gamma_n^2}e^{-\gamma_n^2 Fo_M},
e o enunciado pede que truncuemos a série no primeiro termo.

Passo 2

Definimos a razão adimensional de umidade média (moisture ratio)
\bar{\theta}=\frac{\bar{X}-X_e}{\bar{X}_0-X_e}.
Substituindo os valores:
\bar{\theta}=\frac{13,0-9,0}{16,6-9,0}=\frac{4,0}{7,6}\approx0,5263158.

Passo 3

Usamos a série truncada no primeiro termo. Para a geometria de uma lâmina com secagem pelas duas faces os valores próprios são
\gamma_n=\frac{(2n+1)\pi}{2},
logo o primeiro ( n=0) é
\gamma_0=\frac{\pi}{2},\qquad \gamma_0^2=\frac{\pi^2}{4}\approx2,467401.
Truncando a série no primeiro termo temos
\bar{\theta}\approx\frac{2}{\gamma_0^2}e^{-\gamma_0^2 Fo_M}.
Reescrevendo para isolar a exponencial:
e^{-\gamma_0^2 Fo_M} \approx \bar{\theta}\,\frac{\gamma_0^2}{2}.

Passo 4

Tomamos logaritmo natural para resolver Fo_M:
-\gamma_0^2 Fo_M = \ln\!\left(\bar{\theta}\frac{\gamma_0^2}{2}\right)
Fo_M = -\frac{1}{\gamma_0^2}\ln\!\left(\bar{\theta}\frac{\gamma_0^2}{2}\right).
Calculando os números intermediários:
\frac{\gamma_0^2}{2}=\frac{\pi^2}{8}\approx1,2337006,
\bar{\theta}\frac{\gamma_0^2}{2}\approx0,5263158\times1,2337006\approx0,6498420,
\ln(0,6498420)\approx-0,4310610,
Fo_M \approx -\frac{1}{2,467401}\times(-0,4310610)\approx0,1747.

Passo 5

O número de Fourier para difusão de massa é definido por
Fo_M=\frac{D_{ef}\,t}{L^2}.
Isolando o tempo:
t=\frac{Fo_M\,L^2}{D_{ef}}.
Substituindo Fo_M\approx0,1747, L=0,125\\ \mathrm{cm} e D_{ef}=0,5\times10^{-5}\\ \mathrm{cm}^2/\mathrm{s}:
L^2=(0,125)^2=0,015625\\ \mathrm{cm}^2,
t\approx\frac{0,1747\times0,015625}{0,5\times10^{-5}}\\ \mathrm{s} =\frac{0,002729}{0,000005}\\ \mathrm{s}\approx545,8\\ \mathrm{s}.
Convertendo para minutos:
t\approx\frac{545,8}{60}\\ \mathrm{min}\approx9,10\\ \mathrm{min}.

Resposta

t\approx545,8\\ \mathrm{s}\\ (\approx9,10\\ \mathrm{min})

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