(FGV-SP) Se a média aritmética entre dois números é 15 e sua média geométrica é 12, então, uma equação cujas duas raízes reais sejam esses dois números é
a) 2 x^{2}-60 x+37=0.
b) x^{2}-30 x+120=0.
c) x^{2}-30 x+144=0.
d) x^{2}+6 x+120=0.

Passo 1

O enunciado dá duas informações sobre dois números (chame-os de r_1 e r_2) e pede uma equação cujoas raízes sejam esses dois números. As informações são:
  • A média aritmética entre os dois números é 15. Isso significa que
\frac{r_1 + r_2}{2} = 15.
  • A média geométrica entre os dois números é 12. Isso significa que
\sqrt{r_1 r_2} = 12.
O que o problema pede: encontrar uma equação (um polinômio igual a zero) cujas duas raízes reais sejam exatamente r_1 e r_2, e escolher a alternativa correta entre as dadas.

Passo 2

Transformar as informações em soma e produto das raízes (valores que vamos usar diretamente).
Da média aritmética:
\frac{r_1 + r_2}{2} = 15 \quad\Rightarrow\quad r_1 + r_2 = 30.
Da média geométrica:
\sqrt{r_1 r_2} = 12 \quad\Rightarrow\quad r_1 r_2 = 144.
Então já temos os dois elementos fundamentais: a soma das raízes r_1+r_2=30 e o produto das raízes r_1 r_2=144.

Passo 3

Lembrete importante (fórmula que vamos usar) — como construir um polinômio a partir das raízes.
Se uma equação quadrática monica tem raízes r_1 e r_2, ela pode ser escrita como o produto
(x - r_1)(x - r_2)=0.
Desenvolvendo esse produto:
(x - r_1)(x - r_2) = x^2 - (r_1 + r_2)\,x + r_1 r_2.
Ou seja, a forma padrão é
x^2 - (r_1 + r_2)\,x + r_1 r_2 = 0,
onde o coeficiente de x é o negativo da soma das raízes e o termo constante é o produto das raízes. Isso vem diretamente da expansão algébrica acima.

Passo 4

Agora substituir os valores que encontramos para a soma e o produto das raízes na forma geral.
Como r_1 + r_2 = 30 e r_1 r_2 = 144, a equação procurada é
x^2 - 30\,x + 144 = 0.
Comparando com as alternativas fornecidas, a que corresponde a essa equação é a alternativa (c).

Resposta

c) x^{2}-30 x+144=0

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