(FGV-SP) Se a média aritmética entre dois números é 15 e sua média geométrica é 12, então, uma equação cujas duas raízes reais sejam esses dois números é
a)
.
b)
.
c)
.
d)
.
a)
b)
c)
d)
Passo 1
O enunciado dá duas informações sobre dois números (chame-os de
e
) e pede uma equação cujoas raízes sejam esses dois números. As informações são:
- A média aritmética entre os dois números é
. Isso significa que
- A média geométrica entre os dois números é
. Isso significa que
O que o problema pede: encontrar uma equação (um polinômio igual a zero) cujas duas raízes reais sejam exatamente
e
, e escolher a alternativa correta entre as dadas.
Passo 2
Transformar as informações em soma e produto das raízes (valores que vamos usar diretamente).
Da média aritmética:
Da média geométrica:
Então já temos os dois elementos fundamentais: a soma das raízes
e o produto das raízes
.
Passo 3
Lembrete importante (fórmula que vamos usar) — como construir um polinômio a partir das raízes.
Se uma equação quadrática monica tem raízes
e
, ela pode ser escrita como o produto
Desenvolvendo esse produto:
Ou seja, a forma padrão é
onde o coeficiente de
é o negativo da soma das raízes e o termo constante é o produto das raízes. Isso vem diretamente da expansão algébrica acima.
Passo 4
Agora substituir os valores que encontramos para a soma e o produto das raízes na forma geral.
Como
e
, a equação procurada é
Comparando com as alternativas fornecidas, a que corresponde a essa equação é a alternativa (c).
Resposta
c)