(PUC-SP) Sabe-se que em dezembro de 2007 as indústrias X e Y produziram 6000 e 2400 unidades de um mesmo artigo, respectivamente. A partir de então, a cada mês subsequente,
teve sua produção acrescida de
da quantidade produzida em dezembro de 2007, enquanto que, da mesma forma, Y teve a sua acrescida em 20% da quantidade produzida na mesma data. Nessas condições, é correto afirmar que a produção de tal artigo em X foi superada pela sua produção em Y a partir de
a) setembro de 2009 .
b) novembro de 2009 .
c) fevereiro de 2010.
d) março de 2010.
a) setembro de 2009 .
b) novembro de 2009 .
c) fevereiro de 2010.
d) março de 2010.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e faz uma única pergunta.
Informações fornecidas:
- Em dezembro de 2007 a indústria
produziu unidades. - Em dezembro de 2007 a indústria
produziu unidades. - A partir de então, a cada mês subsequente:
- a produção de
é acrescida de da quantidade produzida em dezembro de 2007; - a produção de
é acrescida de da quantidade produzida em dezembro de 2007.
- a produção de
O que o enunciado pede:
- Determinar a partir de qual mês (entre as opções dadas) a produção de
passou a ser maior que a de .
Passo 2
Entender corretamente o acréscimo mensal (explicando porcentagem em termos absolutos).
Quando dizem “acrescida de
da quantidade produzida em dezembro de 2007”, isso significa que todo mês se acrescenta sempre a mesma quantidade absoluta, igual a
de
. Calcula-se porcentagem transformando em decimal:
Agora calculemos os acréscimos mensais absolutos:
Comentário amigo: ou seja, a cada mês X ganha
unidades a mais que no mês anterior, e Y ganha
unidades a mais que no mês anterior — aumentos constantes, ponto importante!
Passo 3
Modelar as produções mês a mês usando uma progressão aritmética (PA).
Defina
= número de meses após dezembro de 2007. Assim
corresponde a dezembro de 2007,
a janeiro de 2008, etc.
Como o acréscimo mensal é constante, as produções são PAs do tipo
onde:
-
é a produção de no mês , -
é a produção de no mês , -
e são as razões (diferenças) das PAs encontradas no passo anterior.
Passo 4
Determinar quando
passa a ser maior que
: montar e resolver uma desigualdade.
Queremos o menor
inteiro não negativo que satisfaz
Substituindo as expressões:
Agora resolvemos passo a passo a desigualdade:
subtraindo
de ambos os lados:
isto é
Subtraindo
de ambos os lados:
Dividindo por
(positivo, então a desigualdade não muda de sentido):
Calculando a divisão:
logo
Passo 5
Interpretar o resultado e encontrar o menor mês inteiro que satisfaz a condição.
A solução
significa que para
temos empate ou menor, e para qualquer
teremos
. Portanto o menor número inteiro
que faz
é
Rápida intuição: a diferença inicial era
unidades. A cada mês a diferença diminui em
unidades, então leva
meses para zerar a diferença; no mês seguinte (o 21.º) Y já fica na frente.
Passo 6
Converter
em mês/ano do calendário.
Lembrando que
é dezembro de 2007. Somar
meses a dezembro de 2007:
-
meses depois é dezembro de 2008 (ou seja, ); - faltam
meses adicionais: dezembro de 2008 mais meses leva a setembro de 2009.
Portanto
corresponde a setembro de 2009. Isso significa que a partir de setembro de 2009 a produção de
passou a ser maior que a de
.
Resposta
a) setembro de 2009.