(PUC-SP) Sabe-se que em dezembro de 2007 as indústrias X e Y produziram 6000 e 2400 unidades de um mesmo artigo, respectivamente. A partir de então, a cada mês subsequente, X teve sua produção acrescida de 5 \% da quantidade produzida em dezembro de 2007, enquanto que, da mesma forma, Y teve a sua acrescida em 20% da quantidade produzida na mesma data. Nessas condições, é correto afirmar que a produção de tal artigo em X foi superada pela sua produção em Y a partir de
a) setembro de 2009 .
b) novembro de 2009 .
c) fevereiro de 2010.
d) março de 2010.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e faz uma única pergunta.
Informações fornecidas:
  • Em dezembro de 2007 a indústria X produziu 6000 unidades.
  • Em dezembro de 2007 a indústria Y produziu 2400 unidades.
  • A partir de então, a cada mês subsequente:
    • a produção de X é acrescida de 5\% da quantidade produzida em dezembro de 2007;
    • a produção de Y é acrescida de 20\% da quantidade produzida em dezembro de 2007.
O que o enunciado pede:
  • Determinar a partir de qual mês (entre as opções dadas) a produção de Y passou a ser maior que a de X.

Passo 2

Entender corretamente o acréscimo mensal (explicando porcentagem em termos absolutos).
Quando dizem “acrescida de 5\% da quantidade produzida em dezembro de 2007”, isso significa que todo mês se acrescenta sempre a mesma quantidade absoluta, igual a 5\% de 6000. Calcula-se porcentagem transformando em decimal:
5\% = 0{,}05,\qquad 20\% = 0{,}20.
Agora calculemos os acréscimos mensais absolutos:
\text{acréscimo de }X = 0{,}05\cdot6000 = 300.é
\text{acréscimo de }Y = 0{,}20\cdot2400 = 480.é
Comentário amigo: ou seja, a cada mês X ganha 300 unidades a mais que no mês anterior, e Y ganha 480 unidades a mais que no mês anterior — aumentos constantes, ponto importante!

Passo 3

Modelar as produções mês a mês usando uma progressão aritmética (PA).
Defina n = número de meses após dezembro de 2007. Assim n=0 corresponde a dezembro de 2007, n=1 a janeiro de 2008, etc.
Como o acréscimo mensal é constante, as produções são PAs do tipo
X(n)=6000+300n,
Y(n)=2400+480n,
onde:
  • X(n) é a produção de X no mês n,
  • Y(n) é a produção de Y no mês n,
  • 300 e 480 são as razões (diferenças) das PAs encontradas no passo anterior.

Passo 4

Determinar quando Y(n) passa a ser maior que X(n): montar e resolver uma desigualdade.
Queremos o menor n inteiro não negativo que satisfaz
Y(n) > X(n).
Substituindo as expressões:
2400+480n > 6000+300n.
Agora resolvemos passo a passo a desigualdade:
2400+480n > 6000+300n
subtraindo 300n de ambos os lados:
2400+(480-300)n > 6000
isto é
2400+180n > 6000.
Subtraindo 2400 de ambos os lados:
180n > 3600.
Dividindo por 180 (positivo, então a desigualdade não muda de sentido):
n > \frac{3600}{180}.
Calculando a divisão:
\frac{3600}{180}=20,
logo
n>20.

Passo 5

Interpretar o resultado e encontrar o menor mês inteiro que satisfaz a condição.
A solução n>20 significa que para n=20 temos empate ou menor, e para qualquer n\ge21 teremos Y(n)>X(n). Portanto o menor número inteiro n que faz Y(n)>X(n) é
n=21.
Rápida intuição: a diferença inicial era 6000-2400=3600 unidades. A cada mês a diferença diminui em 480-300=180 unidades, então leva 3600/180=20 meses para zerar a diferença; no mês seguinte (o 21.º) Y já fica na frente.

Passo 6

Converter n=21 em mês/ano do calendário.
Lembrando que n=0 é dezembro de 2007. Somar 21 meses a dezembro de 2007:
  • 12 meses depois é dezembro de 2008 (ou seja, n=12);
  • faltam 21-12=9 meses adicionais: dezembro de 2008 mais 9 meses leva a setembro de 2009.
Portanto n=21 corresponde a setembro de 2009. Isso significa que a partir de setembro de 2009 a produção de Y passou a ser maior que a de X.

Resposta

a) setembro de 2009.

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