(Fuvest-SP) Para cada número real m, considere a função quadrática f(x)=x^{2}+m x+2. Nessas condições:
a) Determine, em função de m, as coordenadas do vértice da parábola de equação y=f(x).
b) Determine os valores de \mathrm{m} \in \mathbb{R} para os quais a imagem de f contém o conjunto \{y \in \mathbb{R}: y \geqslant 1\}.
c) Determine o valor de m para o qual a imagem de f é igual ao conjunto \{\mathrm{y} \in \mathbb{R}: \mathrm{y} \geqslant 1\} e, além disso, f é crescente no conjunto \{x \in \mathbb{R}: x \geqslant 0\}.

Passo 1

O enunciado dá, para cada m\in\mathbb{R}, a função quadrática
f(x)=x^{2}+m x+2.
As perguntas são:
  • (a) Determinar, em função de m, as coordenadas do vértice da parábola y=f(x).
  • (b) Determinar os valores de m para os quais a imagem de f contém o conjunto \{y\in\mathbb{R}: y\geqslant 1\}.
  • (c) Determinar o(s) valor(es) de m tais que a imagem de f é exatamente \{y\in\mathbb{R}: y\geqslant 1\} e, além disso, f é crescente no conjunto \{x\in\mathbb{R}: x\geqslant 0\}.
Informações úteis que já temos (retiradas do enunciado):
  • O coeficiente de x^{2} é 1>0, portanto a parábola abre para cima e tem um valor mínimo (o vértice), e a imagem será um intervalo da forma [y_{\text{v}},\infty), onde y_{\text{v}} é a ordenada do vértice.
  • Para testar monotonicidade usamos a derivada f'(x)=2x+m.

Passo 2

Calcular o vértice por completar o quadrado (método prático e elementar). Tomamos
f(x)=x^{2}+m x+2.
Vamos transformar os termos quadráticos e lineares numa forma (x+\alpha)^{2}+\beta. Primeiro, adiciona e subtrai o quadrado de metade do coeficiente linear:
x^{2}+m x = \left(x^{2}+m x+\left(\frac{m}{2}\right)^{2}\right)-\left(\frac{m}{2}\right)^{2} = \left(x+\frac{m}{2}\right)^{2}-\frac{m^{2}}{4}.
Substituindo em f:
f(x)=\left(x+\frac{m}{2}\right)^{2}-\frac{m^{2}}{4}+2.
Da expressão em forma de quadrado perfeito fica claro que o mínimo (vértice) ocorre quando o quadrado é zero, ou seja, em x=-\dfrac{m}{2}. A ordenada correspondente é
y_{\text{v}} = -\frac{m^{2}}{4}+2 = 2-\frac{m^{2}}{4}.

Passo 3

Concluir a resposta da parte (a). As coordenadas do vértice são, portanto:
\left(-\frac{m}{2},\,2-\frac{m^{2}}{4}\right).
Breve explicação do porquê: o termo \left(x+\dfrac{m}{2}\right)^{2} atinge seu mínimo 0 em x=-\dfrac{m}{2}, e então y vale 2-\dfrac{m^{2}}{4}.

Passo 4

Determinar a imagem de f em função de m. Como a parábola abre para cima (coeficiente de x^{2} positivo), a imagem de f é o intervalo
\operatorname{Im}(f) = \left[\,2-\frac{m^{2}}{4},\;\infty\,\right].
Para que a imagem contenha \{y\in\mathbb{R}:y\geqslant 1\} = [1,\infty) é necessário e suficiente que o início do intervalo da imagem seja menor ou igual a 1, isto é
2-\frac{m^{2}}{4} \leqslant 1.

Passo 5

Resolver a desigualdade para a parte (b). Começando de
2-\frac{m^{2}}{4} \leqslant 1,
subtraindo 2 em ambos os lados:
-\frac{m^{2}}{4} \leqslant -1.
Multiplicando por -4 (lembre que ao multiplicar por número negativo a desigualdade inverte):
m^{2} \geqslant 4.
Isto equivale a |m|\geqslant 2, ou seja,
m\in(-\infty,-2]\cup[2,\infty).
Intuição: se o vértice fica numa ordenada menor ou igual a 1, então toda a reta y\geqslant 1 está dentro da imagem.

Passo 6

Resolver a parte (c). Para que a imagem seja exatamente [1,\infty) precisamos que o mínimo valha exatamente 1, isto é
2-\frac{m^{2}}{4}=1.
Resolvendo:
-\frac{m^{2}}{4}=-1 \quad\Rightarrow\quad m^{2}=4 \quad\Rightarrow\quad m=\pm 2.
Agora impor a condição extra: f é crescente em \{x\geqslant 0\}. A derivada é
f'(x)=2x+m.
Num intervalo da forma [0,\infty) a função linear 2x+m atinge seu menor valor em x=0, portanto uma condição suficiente e necessária para f ser (não decrescente) em [0,\infty) é
f'(0)=m \geqslant 0.
Entre m=\pm 2, só m=2 satisfaz m\geqslant 0. Verificação final para m=2: a função é
f(x)=x^{2}+2x+2=(x+1)^{2}+1,
cuja imagem é [1,\infty), e a derivada é f'(x)=2x+2\geqslant 2>0 para x\geqslant 0, logo é crescente em [0,\infty).

Resposta

(a) \displaystyle\left(-\frac{m}{2},\,2-\frac{m^{2}}{4}\right)
(b) \displaystyle m\in(-\infty,-2]\cup[2,\infty)
(c) \displaystyle m=2

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