(Fuvest-SP) Para cada número real
, considere a função quadrática
. Nessas condições:
a) Determine, em função de
, as coordenadas do vértice da parábola de equação
.
b) Determine os valores de
para os quais a imagem de
contém o conjunto
.
c) Determine o valor de
para o qual a imagem de
é igual ao conjunto
e, além disso,
é crescente no conjunto
.
a) Determine, em função de
b) Determine os valores de
c) Determine o valor de
Passo 1
O enunciado dá, para cada
, a função quadrática
As perguntas são:
- (a) Determinar, em função de
, as coordenadas do vértice da parábola . - (b) Determinar os valores de
para os quais a imagem de contém o conjunto . - (c) Determinar o(s) valor(es) de
tais que a imagem de é exatamente e, além disso, é crescente no conjunto .
Informações úteis que já temos (retiradas do enunciado):
- O coeficiente de
é , portanto a parábola abre para cima e tem um valor mínimo (o vértice), e a imagem será um intervalo da forma , onde é a ordenada do vértice. - Para testar monotonicidade usamos a derivada
.
Passo 2
Calcular o vértice por completar o quadrado (método prático e elementar). Tomamos
Vamos transformar os termos quadráticos e lineares numa forma
. Primeiro, adiciona e subtrai o quadrado de metade do coeficiente linear:
Substituindo em
:
Da expressão em forma de quadrado perfeito fica claro que o mínimo (vértice) ocorre quando o quadrado é zero, ou seja, em
. A ordenada correspondente é
Passo 3
Concluir a resposta da parte (a). As coordenadas do vértice são, portanto:
Breve explicação do porquê: o termo
atinge seu mínimo
em
, e então
vale
.
Passo 4
Determinar a imagem de
em função de
. Como a parábola abre para cima (coeficiente de
positivo), a imagem de
é o intervalo
Para que a imagem contenha
é necessário e suficiente que o início do intervalo da imagem seja menor ou igual a
, isto é
Passo 5
Resolver a desigualdade para a parte (b). Começando de
subtraindo
em ambos os lados:
Multiplicando por
(lembre que ao multiplicar por número negativo a desigualdade inverte):
Isto equivale a
, ou seja,
Intuição: se o vértice fica numa ordenada menor ou igual a
, então toda a reta
está dentro da imagem.
Passo 6
Resolver a parte (c). Para que a imagem seja exatamente
precisamos que o mínimo valha exatamente
, isto é
Resolvendo:
Agora impor a condição extra:
é crescente em
. A derivada é
Num intervalo da forma
a função linear
atinge seu menor valor em
, portanto uma condição suficiente e necessária para
ser (não decrescente) em
é
Entre
, só
satisfaz
. Verificação final para
: a função é
cuja imagem é
, e a derivada é
para
, logo é crescente em
.
Resposta
(a)
(b)
(c)
(b)
(c)