(FGV-SP) Na equação
, na variável
é um parâmetro real. O produto dos valores de
para os quais essa equação não apresenta solução real em
é
a) 10 .
b) 12 .
c) 20 .
d) 24 .
a) 10 .
b) 12 .
c) 20 .
d) 24 .
Passo 1
O enunciado dá a equação racional
onde
é a variável e
é um parâmetro real. A pergunta é: qual é o produto dos valores de
para os quais essa equação NÃO apresenta solução real em
.
Informações relevantes que já temos do enunciado:
- A equação envolve razões com denominadores
e , portanto não pode assumir os valores nem (esses valores tornam os denominadores zero). - Precisamos encontrar todos os valores reais de
tais que, ao resolver a equação em , não exista nenhuma solução real admissível (ou seja, nenhuma solução real diferente de e ). Depois disso, calcular o produto desses valores de .
Passo 2
Vamos resolver a equação por multiplicação em cruz (cross-multiplication), lembrando sempre que isso é válido apenas para
e
. Multiplicando em cruz:
Agora vou expandir ambos os lados passo a passo (mostrar o que é cada termo):
Igualando as duas expressões:
Passo 3
Cancelei
dos dois lados (pois aparecem em ambos) e juntei termos semelhantes:
Colocando todos os termos a um lado:
Este é um equacionamento linear em
dependendo de
. Agora analisamos os casos possíveis dependendo do valor de
.
Passo 4
Caso 1:
.
Se então o coeficiente de
é diferente de zero e podemos isolar
:
Se
Essa é a única solução candidata para
quando
. Mas lembre-se: essa solução só vale se for permitida pela condição de domínio
e
. Então devemos verificar se, para algum
, essa expressão produz
ou
(esses seriam candidatos inválidos e, se forem a única solução, resultariam em ausência de solução admissível).
Verificação
:
Isso implica
, o que dá
, impossível. Logo, não existe
que faça a solução ser
.
Verificação
:
Isso leva a
, então
e portanto
. Para
a única solução candidata é
, mas
é proibido (denominador zero). Logo, quando
não há solução admissível em
.
Conclusão deste caso: para todo
e
existe uma solução real admissível
. Para
a única solução é
, que é excluída, então não há solução.
Passo 5
Caso 2:
.
Se , volte à forma
. Substituindo
:
Se
que é uma contradição. Isso significa que para
não existe nenhum
(nem mesmo tentando
) que satisfaça a igualdade: a equação não tem solução. Também é possível ver isso substituindo
diretamente na equação original e verificando que leva a uma contradição.
Portanto,
também é um valor do parâmetro que faz com que a equação não tenha solução real em
.
Passo 6
Reunindo os resultados: os valores de
que anulam a existência de solução real em
são
O produto desses valores é