(FGV-SP) Na equação \frac{x-1}{x-2}=\frac{x-k}{x-6}, na variável x, k é um parâmetro real. O produto dos valores de k para os quais essa equação não apresenta solução real em x é
a) 10 .
b) 12 .
c) 20 .
d) 24 .

Passo 1

O enunciado dá a equação racional
\frac{x-1}{x-2}=\frac{x-k}{x-6},
onde x é a variável e k é um parâmetro real. A pergunta é: qual é o produto dos valores de k para os quais essa equação NÃO apresenta solução real em x.
Informações relevantes que já temos do enunciado:
  • A equação envolve razões com denominadores x-2 e x-6, portanto x não pode assumir os valores 2 nem 6 (esses valores tornam os denominadores zero).
  • Precisamos encontrar todos os valores reais de k tais que, ao resolver a equação em x, não exista nenhuma solução real admissível (ou seja, nenhuma solução real diferente de 2 e 6). Depois disso, calcular o produto desses valores de k.

Passo 2

Vamos resolver a equação por multiplicação em cruz (cross-multiplication), lembrando sempre que isso é válido apenas para x\neq2 e x\neq6. Multiplicando em cruz:
(x-1)(x-6)=(x-k)(x-2).
Agora vou expandir ambos os lados passo a passo (mostrar o que é cada termo):
(x-1)(x-6)=x^2-6x-x+6=x^2-7x+6,
(x-k)(x-2)=x^2-2x-kx+2k=x^2-(k+2)x+2k.
Igualando as duas expressões:
x^2-7x+6 = x^2-(k+2)x+2k.

Passo 3

Cancelei x^2 dos dois lados (pois aparecem em ambos) e juntei termos semelhantes:
-7x+6 = -(k+2)x+2k.
Colocando todos os termos a um lado:
(-7x+6) + (k+2)x - 2k = 0
(k-5)x + (6-2k) = 0.
Este é um equacionamento linear em x dependendo de k. Agora analisamos os casos possíveis dependendo do valor de k.

Passo 4

Caso 1: k\neq5.
Se k\neq5 então o coeficiente de x é diferente de zero e podemos isolar x:
x = \frac{2k-6}{k-5} = \frac{2(k-3)}{k-5}.
Essa é a única solução candidata para x quando k\neq5. Mas lembre-se: essa solução só vale se for permitida pela condição de domínio x\neq2 e x\neq6. Então devemos verificar se, para algum k\neq5, essa expressão produz x=2 ou x=6 (esses seriam candidatos inválidos e, se forem a única solução, resultariam em ausência de solução admissível).
Verificação x=2:
\frac{2(k-3)}{k-5}=2 \quad\Rightarrow\quad \frac{k-3}{k-5}=1.
Isso implica k-3=k-5, o que dá -3 = -5, impossível. Logo, não existe k que faça a solução ser x=2.
Verificação x=6:
\frac{2(k-3)}{k-5}=6 \quad\Rightarrow\quad \frac{k-3}{k-5}=3.
Isso leva a k-3=3k-15, então 12=2k e portanto k=6. Para k=6 a única solução candidata é x=6, mas x=6 é proibido (denominador zero). Logo, quando k=6 não há solução admissível em x.
Conclusão deste caso: para todo k\neq5 e k\neq6 existe uma solução real admissível x=\dfrac{2(k-3)}{k-5}. Para k=6 a única solução é x=6, que é excluída, então não há solução.

Passo 5

Caso 2: k=5.
Se k=5, volte à forma (k-5)x+(6-2k)=0. Substituindo k=5:
(5-5)x + (6-2\cdot5) = 0 \quad\Rightarrow\quad 0\cdot x + (6-10)=0 \quad\Rightarrow\quad -4=0,
que é uma contradição. Isso significa que para k=5 não existe nenhum x (nem mesmo tentando x\neq2,6) que satisfaça a igualdade: a equação não tem solução. Também é possível ver isso substituindo k=5 diretamente na equação original e verificando que leva a uma contradição.
Portanto, k=5 também é um valor do parâmetro que faz com que a equação não tenha solução real em x.

Passo 6

Reunindo os resultados: os valores de k que anulam a existência de solução real em x são
k=5 \quad\text{e}\quad k=6.
O produto desses valores é
5\cdot 6 = 30.

Resposta

30

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