5 (FGV-SP) O produto de 3 números inteiros positivos e consecutivos é igual a 8 vezes a sua soma. A soma dos quadrados desses 3 números é igual a:

Passo 1

O enunciado pede três inteiros positivos e consecutivos cujo produto vale oito vezes a soma deles, e então quer a soma dos quadrados desses três números. Vamos chamar o primeiro deles de n, de modo que os números sejam
n,\;n+1,\;n+2.
O conteúdo aqui é resolver uma equação polinomial (grau 3) que reduz a uma quadrática, e depois calcular soma de quadrados.

Passo 2

Escrevendo em fórmula o enunciado, temos
n\,(n+1)\,(n+2)\;=\;8\bigl(n+(n+1)+(n+2)\bigr)
e a soma n+(n+1)+(n+2)=3n+3=3(n+1). Logo a equação vira
n\,(n+1)\,(n+2)=8\cdot3\,(n+1)=24\,(n+1).

Passo 3

Como n+1\neq0 (queremos n>0), dividimos ambos os lados por n+1:
n\,(n+2)=24 \quad\Longrightarrow\quad n^2+2n-24=0.
Isso é uma equação quadrática no formato padrão.

Passo 4

Resolvendo a quadrática
n=\frac{-2\pm\sqrt{2^2-4\cdot1\cdot(-24)}}{2} =\frac{-2\pm\sqrt{100}}{2} =\frac{-2\pm10}{2},
obtém-se n=4 ou n=-6. Como queremos inteiros positivos, fica n=4. Assim os três números são 4,5,6.

Passo 5

Agora calculamos a soma dos quadrados:
4^2+5^2+6^2 =16+25+36 =77.

Resposta

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