(UFSM) O diretório acadêmico de uma Universidade organizou palestras de esclarecimento sobre o plano de governo dos candidatos a governador. O anfiteatro, onde foram realizados os encontros, possuía 12 filas de poltronas distribuídas da seguinte forma: na primeira fila 21 poltronas, na segunda 25 , na terceira 29 , e assim sucessivamente. Sabendo que, num determinado dia, todas as poltronas foram ocupadas e que 42 pessoas ficaram em pé, o total de participantes, excluído o palestrante, foi de:
a) 474
b) 516
c) 557
d) 558
e) 559
a) 474
b) 516
c) 557
d) 558
e) 559
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede.
- Informação: há
filas de poltronas. - Informação: o número de poltronas por fila forma uma sequência: primeira fila
poltronas, segunda , terceira , e assim por diante. - Informação: num dia todas as poltronas foram ocupadas e ainda
pessoas ficaram em pé. - Pergunta: qual foi o total de participantes, excluído o palestrante?
Passo 2
Identificar o padrão da sequência de poltronas por fila e a ferramenta matemática que vamos usar.
- Observação: a sequência
é uma progressão aritmética (PA), porque a diferença entre termos consecutivos é constante. Aqui a diferença comum é . - Vamos usar duas fórmulas básicas de PA (vou explicar cada variável):
- Termo geral:
onde é o -ésimo termo, é o primeiro termo, é a diferença comum e é o índice do termo. - Soma dos
primeiros termos: onde é a soma dos primeiros termos. Outra forma equivalente é
- Termo geral:
- Exemplo rápido para fixar: na PA
tem , . O terceiro termo é ; a soma dos três primeiros é .
Passo 3
Calcular o número de poltronas na última fila (fila
) usando o termo geral da PA.
- Aplicando
com , e :
- Calcular passo a passo:
- Portanto a
-ª fila tem poltronas.
Passo 4
Calcular o total de poltronas do anfiteatro (soma das
filas) usando a fórmula da soma.
- Usando
com , , :
- Calcular passo a passo:
- Logo, o anfiteatro tem
poltronas no total.
Passo 5
Encontrar o total de participantes somando as pessoas em pé.
- Todas as
poltronas foram ocupadas e pessoas ficaram em pé, então o total de participantes (excluído o palestrante) é
Passo 6
Verificação (checar com a outra forma da fórmula da soma para garantir que não houve erro).
- Usando
com , , :
o que confirma o valor anterior. Tudo consistente.
Resposta
558