(UFSM) O diretório acadêmico de uma Universidade organizou palestras de esclarecimento sobre o plano de governo dos candidatos a governador. O anfiteatro, onde foram realizados os encontros, possuía 12 filas de poltronas distribuídas da seguinte forma: na primeira fila 21 poltronas, na segunda 25 , na terceira 29 , e assim sucessivamente. Sabendo que, num determinado dia, todas as poltronas foram ocupadas e que 42 pessoas ficaram em pé, o total de participantes, excluído o palestrante, foi de:
a) 474
b) 516
c) 557
d) 558
e) 559

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede.
  • Informação: há 12 filas de poltronas.
  • Informação: o número de poltronas por fila forma uma sequência: primeira fila 21 poltronas, segunda 25, terceira 29, e assim por diante.
  • Informação: num dia todas as poltronas foram ocupadas e ainda 42 pessoas ficaram em pé.
  • Pergunta: qual foi o total de participantes, excluído o palestrante?

Passo 2

Identificar o padrão da sequência de poltronas por fila e a ferramenta matemática que vamos usar.
  • Observação: a sequência 21,\,25,\,29,\dots é uma progressão aritmética (PA), porque a diferença entre termos consecutivos é constante. Aqui a diferença comum é d=25-21=4.
  • Vamos usar duas fórmulas básicas de PA (vou explicar cada variável):
    • Termo geral: a_n = a_1 + (n-1)\,d, onde a_n é o n-ésimo termo, a_1 é o primeiro termo, d é a diferença comum e n é o índice do termo.
    • Soma dos n primeiros termos: S_n = \frac{n}{2}\,(a_1 + a_n), onde S_n é a soma dos n primeiros termos. Outra forma equivalente é S_n = \frac{n}{2}\,\bigl(2a_1 + (n-1)d\bigr).
  • Exemplo rápido para fixar: na PA 2,5,8 tem a_1=2, d=3. O terceiro termo é a_3 = 2+(3-1)\cdot3 = 8; a soma dos três primeiros é S_3=\tfrac{3}{2}(2+8)=15.

Passo 3

Calcular o número de poltronas na última fila (fila 12) usando o termo geral da PA.
  • Aplicando a_n = a_1 + (n-1)\,d com a_1=21, d=4 e n=12:
a_{12} = 21 + (12-1)\cdot 4.
  • Calcular passo a passo:
12-1 = 11, \qquad 11\cdot 4 = 44, \qquad 21 + 44 = 65.
  • Portanto a 12-ª fila tem a_{12}=65 poltronas.

Passo 4

Calcular o total de poltronas do anfiteatro (soma das 12 filas) usando a fórmula da soma.
  • Usando S_n = \frac{n}{2}\,(a_1 + a_n) com n=12, a_1=21, a_{12}=65:
S_{12} = \frac{12}{2}\,(21 + 65).
  • Calcular passo a passo:
21 + 65 = 86, \qquad \frac{12}{2} = 6, \qquad 6\cdot 86 = 516.
  • Logo, o anfiteatro tem 516 poltronas no total.

Passo 5

Encontrar o total de participantes somando as pessoas em pé.
  • Todas as 516 poltronas foram ocupadas e 42 pessoas ficaram em pé, então o total de participantes (excluído o palestrante) é
516 + 42 = 558.

Passo 6

Verificação (checar com a outra forma da fórmula da soma para garantir que não houve erro).
  • Usando S_n = \frac{n}{2}\bigl(2a_1 + (n-1)d\bigr) com n=12, a_1=21, d=4:
S_{12} = \frac{12}{2}\bigl(2\cdot21 + 11\cdot4\bigr) = 6\bigl(42 + 44\bigr) = 6\cdot86 = 516,
o que confirma o valor anterior. Tudo consistente.

Resposta

558

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