Um estacionamento cobra R$6, 00 pela primeira hora. A partir da segunda hora, os preços caem em progressão aritmética. O valor da segunda hora é \mathrm{R} \4,00 e o da sétima ééé\mathrm{R} $ 0,50 . Quanto gastará o proprietário de um automóvel estacionado 5 horas nesse local? a) \(R \\) 17,80
b) R \ 20,00$
c) R \ 18,00$
d) R \ 18,70$

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • O valor da primeira hora é \text{R\$ }6{,}00.
  • A partir da segunda hora, os preços formam uma progressão aritmética.
  • O valor da segunda hora é \text{R\$ }4{,}00.
  • O valor da sétima hora é \text{R\$ }0{,}50.
O que o problema pede:
  • Determinar quanto gastará o proprietário por um estacionamento de 5 horas (ou seja, custo da 1ª até a 5ª hora).

Passo 2

Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicação didática e simples):
  • Uma progressão aritmética (PA) é uma sequência em que cada termo, a partir do segundo, é obtido somando-se uma mesma constante d ao termo anterior. Essa constante d chama-se razão.
  • Se a_1 é o primeiro termo da PA e d a razão, o n-ésimo termo é dado por:
a_n = a_1 + (n-1)\,d.
Aqui cada símbolo significa:
  • a_n: valor do termo na posição n,
  • a_1: valor do primeiro termo da PA,
  • d: razão da PA,
  • n: índice do termo.
  • A soma dos n primeiros termos de uma PA pode ser calculada por:
S_n = \frac{n}{2}\,(a_1 + a_n),
que é uma forma prática (também equivalente a S_n = \frac{n}{2}\bigl(2a_1 + (n-1)d\bigr)). Essa fórmula vem da ideia de somar termos aos pares (o primeiro com o último, o segundo com o penúltimo, etc.), cada par somando o mesmo valor a_1+a_n.

Passo 3

Identificação da PA no problema:
  • A PA refere-se aos preços “a partir da segunda hora”. Para trabalhar com uma PA padrão, tomo como a_1 o preço da segunda hora (isto é, o primeiro termo da PA que descreve horas 2,3,4,…).
  • Portanto:
    • a_1 = \text{R\$ }4{,}00 (preço da 2ª hora),
    • o termo correspondente à 7ª hora é o sexto termo da PA (porque 7ª hora = posição n=6 na sequência que começa na 2ª hora). Assim a_6 = \text{R\$ }0{,}50.

Passo 4

Calcular a razão d da PA usando a fórmula do termo geral:
a_6 = a_1 + (6-1)\,d = a_1 + 5d.
Substituindo os valores conhecidos:
\text{R\$}0{,}50 = \text{R\$ }4{,}00 + 5d.
Isolando d:
5d = \text{R\$}0{,}50 - \text{R\$ }4{,}00 = -\text{R\$ }3{,}50.
d = -\text{R\$}\frac{3{,}50}{5} = -\text{R\$ }0{,}70.
Comentário amigável: a razão é negativa (preço cai a cada hora), e o valor -\text{R\$}0{,}70 significa que a cada hora, a taxa diminui em \text{R\$ }0{,}70.

Passo 5

Verificar os preços hora a hora (para intuição):
  • 2ª hora: a_1 = \text{R\$ }4{,}00.
  • 3ª hora: a_2 = a_1 + d = 4{,}00 - 0{,}70 = \text{R\$ }3{,}30.
  • 4ª hora: a_3 = 3{,}30 - 0{,}70 = \text{R\$ }2{,}60.
  • 5ª hora: a_4 = 2{,}60 - 0{,}70 = \text{R\$ }1{,}90.
  • (continua 6ª hora: a_5=\text{R\$}1{,}20, 7ª hora: a_6=\text{R\$ }0{,}50 — confere com o dado).

Passo 6

Calcular o total gasto nas 5 horas:
  • O custo total em 5 horas é a soma do custo da 1ª hora (que é independente da PA) mais a soma dos preços das horas 2 a 5 (que são os quatro primeiros termos da PA).
  • Primeiro, soma das 4 primeiras parcelas da PA: use a fórmula S_n = \dfrac{n}{2}\,(a_1 + a_n). Aqui n=4, a_1=\text{R\$}4{,}00, e a_4=\text{R\$ }1{,}90.
S_4 = \frac{4}{2}\,\bigl(\text{R\$}4{,}00 + \text{R\$ }1{,}90\bigr).
Calcule dentro dos parênteses:
\text{R\$}4{,}00 + \text{R\$ }1{,}90 = \text{R\$ }5{,}90.
Então
S_4 = 2 \times \text{R\$}5{,}90 = \text{R\$ }11{,}80.
  • Agora some o valor da primeira hora:
\text{Total em 5 horas} = \text{R\$}6{,}00 + \text{R\$ }11{,}80 = \text{R\$ }17{,}80.

Passo 7

Conferência rápida com as opções dadas:
a) \text{R\$ }17{,}80 — coincide com nosso cálculo.
b) \text{R\$ }20{,}00
c) \text{R\$ }18{,}00
d) \text{R\$ }18{,}70
Portanto a alternativa correta é a letra (a).

Resposta

a) \text{R\$ }17{,}80

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