Um estacionamento cobra R$6, 00 pela primeira hora. A partir da segunda hora, os preços caem em progressão aritmética. O valor da segunda hora é
4,00
\mathrm{R} $ 0,50
b)
20,00$
c)
18,00$
d)
18,70$
b)
c)
d)
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações:
- O valor da primeira hora é
. - A partir da segunda hora, os preços formam uma progressão aritmética.
- O valor da segunda hora é
. - O valor da sétima hora é
.
O que o problema pede:
- Determinar quanto gastará o proprietário por um estacionamento de 5 horas (ou seja, custo da 1ª até a 5ª hora).
Passo 2
Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicação didática e simples):
- Uma progressão aritmética (PA) é uma sequência em que cada termo, a partir do segundo, é obtido somando-se uma mesma constante
ao termo anterior. Essa constante chama-se razão. - Se
é o primeiro termo da PA e a razão, o -ésimo termo é dado por:
Aqui cada símbolo significa:
-
: valor do termo na posição , -
: valor do primeiro termo da PA, -
: razão da PA, -
: índice do termo. - A soma dos
primeiros termos de uma PA pode ser calculada por:
que é uma forma prática (também equivalente a
). Essa fórmula vem da ideia de somar termos aos pares (o primeiro com o último, o segundo com o penúltimo, etc.), cada par somando o mesmo valor
.
Passo 3
Identificação da PA no problema:
- A PA refere-se aos preços “a partir da segunda hora”. Para trabalhar com uma PA padrão, tomo como
o preço da segunda hora (isto é, o primeiro termo da PA que descreve horas 2,3,4,…). - Portanto:
-
(preço da 2ª hora), - o termo correspondente à 7ª hora é o sexto termo da PA (porque 7ª hora = posição
na sequência que começa na 2ª hora). Assim .
-
Passo 4
Calcular a razão
da PA usando a fórmula do termo geral:
Substituindo os valores conhecidos:
Isolando
:
Comentário amigável: a razão é negativa (preço cai a cada hora), e o valor
significa que a cada hora, a taxa diminui em
.
Passo 5
Verificar os preços hora a hora (para intuição):
- 2ª hora:
. - 3ª hora:
. - 4ª hora:
. - 5ª hora:
. - (continua 6ª hora:
, 7ª hora: — confere com o dado).
Passo 6
Calcular o total gasto nas 5 horas:
- O custo total em 5 horas é a soma do custo da 1ª hora (que é independente da PA) mais a soma dos preços das horas 2 a 5 (que são os quatro primeiros termos da PA).
- Primeiro, soma das 4 primeiras parcelas da PA: use a fórmula
. Aqui , , e .
Calcule dentro dos parênteses:
Então
- Agora some o valor da primeira hora:
Passo 7
Conferência rápida com as opções dadas:
a) — coincide com nosso cálculo.
b)
c)
d)
a)
b)
c)
d)
Portanto a alternativa correta é a letra (a).
Resposta
a)