(FATEC) Sabe-se que a^{2}-2 b c-b^{2}-c^{2}=40 e a-b-c=10 com a, b e c números reais. Então o valor de \mathrm{a}+\mathrm{b}+\mathrm{c} é igual a
(a) 1
(b) 2
(c) 4
(d) 10
(e) 20

Passo 1

O enunciado fornece duas equações envolvendo os números reais a, b e c:
a^{2}-2 b c-b^{2}-c^{2}=40
a-b-c=10
A pergunta é: qual é o valor de a+b+c? (As alternativas oferecidas são 1,2,4,10,20.)

Passo 2

Vou transformar a primeira expressão para enxergar alguma relação com b+c. Observa-se que
b^{2}+2bc+c^{2}=(b+c)^{2},
portanto
a^{2}-2 b c-b^{2}-c^{2}=a^{2}-\bigl(b^{2}+2bc+c^{2}\bigr)=a^{2}-(b+c)^{2}.

Passo 3

Agora reconhecemos uma diferença de quadrados. A fórmula geral é
x^{2}-y^{2}=(x-y)(x+y),
onde x e y são quaisquer expressões. Aplicando com x=a e y=b+c, obtemos
a^{2}-(b+c)^{2}=(a-(b+c))(a+(b+c)).

Passo 4

Usando o resultado do Passo 2, a equação dada torna-se
(a-(b+c))(a+(b+c))=40.
Mas a-(b+c)=a-b-c, e o enunciado deu a-b-c=10. Substituindo,
10\,(a+b+c)=40.

Passo 5

Isolando a+b+c na equação do Passo 4,
a+b+c=\frac{40}{10}=4.
Portanto o valor pedido é 4.

Resposta

4

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