Um filamento cilíndrico de tungstênio com 15,0 \mathrm{~cm} de comprimento e diâmetro de 1,00 \mathrm{~mm} deve ser usado em uma máquina para a qual a temperatura variará entre a temperatura ambiente \left(20^{\circ} \mathrm{C}\right)
e 120^{\circ} \mathrm{C}. A corrente é de 12,5 \mathrm{~A} sob qualquer temperatura (consulte as tabelas 25.1 e 25.2). (a) Qual será o campo elétrico máximo nesse filamento e (b) qual será sua resistência para esse campo? (c) Qual será a queda máxima de potencial por todo o comprimento do filamento?
Substância \rho(\Omega \cdot \mathbf{m}) Substância \rho(\Omega \cdot \mathbf{m})
Condutores Semicondutores
Metais Prata 1,47 \times 10^{-8} Carbono puro (grafite) 3,5 \times 10^{-5}
Cobre 1,72 \times 10^{-8} Germânio puro 0,60
Ouro 2,44 \times 10^{-8} Silício puro 2.300
Alumínio 2,75 \times 10^{-8} Isolantes
Tungstênio 5,25 \times 10^{-8} Âmbar 5 \times 10^{14}
Aço 20 \times 10^{-8} Vidro 10^{10}-10^{14}
Chumbo 22 \times 10^{-8} Lucita >10^{13}
Mercúrio 95 \times 10^{-8} Mica 10^{11}-10^{15}
Ligas Manganina (Cu 84%, Mn 12%, Ni 4%) 44 \times 10^{-8} Quartzo (fundido) 75 \times 10^{16}
Constantan (Cu 60%, Ni 40%) 49 \times 10^{-8} Enxofre 10^{15}
Nicromo 100 \times 10^{-8} Teflon { }^{(8)} >10^{13}
Madeira 10^{8}-10^{11}
Material \alpha\left[\left({ }^{\circ} \mathbf{C}\right)^{-1}\right] Material \alpha\left[\left({ }^{\circ} \mathbf{C}\right)^{-\mathbf{1}}\right]
Alumínio 0,0039 Chumbo 0,0043
Latão 0,0020 Manganina 0,00000
Carbono (grafite) -0,0005 Mercúrio 0,00088
Constantan 0,00001 Nicromo 0,0004
Cobre 0,00393 Prata 0,0038
Ferro 0,0050 Tungstênio 0,0045

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
Dados fornecidos (peguei os valores de resistividade e coeficiente térmico nas tabelas fornecidas):
  • comprimento do filamento: L=15,0\\ \mathrm{cm}=0,150\\ \mathrm{m}.
  • diâmetro do filamento: d=1,00\\ \mathrm{mm}=1,00\times10^{-3}\\ \mathrm{m}.
  • corrente elétrica (constante em toda a faixa de temperatura): I=12,5\\ \mathrm{A}.
  • resistividade do tungstênio na temperatura ambiente (peguei da tabela): \rho_0=5,25\times10^{-8}\\ \Omega\cdot\mathrm{m} (valor a 20^\circ\mathrm{C}).
  • coeficiente de temperatura do tungstênio (peguei da tabela): \alpha=0,0045\\ \left({}^\circ\mathrm{C}\right)^{-1}.
  • temperaturas: T_0=20^\circ\mathrm{C} (referência da tabela) e temperatura máxima T_{\max}=120^\circ\mathrm{C}.
O enunciado pede:
(a) o campo elétrico máximo no filamento;
(b) a resistência correspondente a esse campo (ou seja, a resistência quando a resistência é máxima);
(c) a queda máxima de potencial ao longo de todo o filamento.
Observação útil: como a corrente é constante e a resistividade aumenta com temperatura, todos os quantidades elétricas que dependem de \rho serão máximas em T_{\max}=120^\circ\mathrm{C}. Vou calcular a resistividade em 120^\circ\mathrm{C} e usar essa resistividade para (a), (b) e (c).

Passo 2

Como a resistividade varia aproximadamente linearmente com temperatura para metais próximos à faixa dada, uso a fórmula de variação linear:
\rho(T)=\rho_0\bigl(1+\alpha\,(T-T_0)\bigr).
Aqui:
  • \rho(T) é a resistividade à temperatura T.
  • \rho_0 é a resistividade na temperatura de referência T_0.
  • \alpha é o coeficiente de temperatura (por unidade de grau Celsius).
    Substituindo os valores (peguei \rho_0 e \alpha das tabelas):
\Delta T = T_{\max}-T_0 = 120^\circ\mathrm{C}-20^\circ\mathrm{C}=100^\circ\mathrm{C},
\rho(120^\circ\mathrm{C})=\left(5,25\times10^{-8}\right)\left(1+0,0045\times100\right)\\ \Omega\cdot\mathrm{m}.
Calculo dentro do parêntese:
1+0,0045\times100 = 1+0,45 = 1,45.
Logo
\rho(120^\circ\mathrm{C}) = 5,25\times10^{-8}\times1,45 = 7,6125\times10^{-8}\\ \Omega\cdot\mathrm{m}.

Passo 3

Calcular a área da seção transversal do fio (é circular). A área é
A=\pi r^2,
onde r é o raio. O raio é metade do diâmetro:
r=\frac{d}{2}=\frac{1,00\times10^{-3}\\ \mathrm{m}}{2}=0,50\times10^{-3}\\ \mathrm{m}=5,00\times10^{-4}\\ \mathrm{m}.
Então
A=\pi\left(5,00\times10^{-4}\\ \mathrm{m}\right)^2=\pi\left(25,0\times10^{-8}\right)\\ \mathrm{m}^2 =\pi\times2,50\times10^{-7}\\ \mathrm{m}^2.
Numericamente,
A\approx7,8539816\times10^{-7}\\ \mathrm{m}^2.

Passo 4

Calcular a densidade de corrente \mathbf{J}. Definição:
\mathbf{J}=\frac{I}{A},
onde I é a corrente e A a área da seção. Substituindo:
J=\frac{12,5\\ \mathrm{A}}{7,8539816\times10^{-7}\\ \mathrm{m}^2} \approx1,59154943\times10^{7}\\ \mathrm{A}\!/\mathrm{m}^2.

Passo 5

Relacionar campo elétrico \mathbf{E}, densidade de corrente \mathbf{J} e resistividade \rho. Para um material ôhmico localmente vale a lei de Ohm na forma:
\mathbf{E}=\rho\,\mathbf{J},
onde \mathbf{E} é o campo elétrico (V/m), \rho a resistividade ( \Omega\cdot\mathrm{m}) e \mathbf{J} a densidade de corrente ( \mathrm{A}/\mathrm{m}^2). Usando \rho(120^\circ\mathrm{C}) (maior resistividade) e J calculado:
E_{\max}=\rho(120^\circ\mathrm{C})\;J =(7,6125\times10^{-8})\times(1,59154943\times10^{7})\\ \mathrm{V}/\mathrm{m}.
Fazendo a multiplicação:
E_{\max}\approx1,211567\times10^{0}\\ \mathrm{V}/\mathrm{m}\approx1,21\\ \mathrm{V}/\mathrm{m}.
Interpretação prática: o campo ao longo do fio é pequeno (ordem de 1 V/m) porque condutores têm resistividade muito baixa.

Passo 6

Calcular a resistência total do filamento na temperatura máxima. Fórmula da resistência de um condutor uniforme:
R=\frac{\rho L}{A},
onde L é o comprimento do fio. Usando \rho(120^\circ\mathrm{C}), L=0,150\\ \mathrm{m} e A:
R=\frac{7,6125\times10^{-8}\\ \Omega\cdot\mathrm{m}\times0,150\\ \mathrm{m}}{7,8539816\times10^{-7}\\ \mathrm{m}^2}.
Calcule o numerador:
7,6125\times10^{-8}\times0,150 = 1,141875\times10^{-8}.
Agora a divisão:
R\approx\frac{1,141875\times10^{-8}}{7,8539816\times10^{-7}} \approx1,4539\times10^{-2}\\ \Omega.
Arredondando de forma razoável:
R\approx1,45\times10^{-2}\\ \Omega.
Observação alternativa (cheque rápido): como E_{\max} é o campo ao longo do fio, a diferença de potencial ao longo do comprimento também é V=E_{\max}L. Então R=V/I=(E_{\max}L)/I, que dá o mesmo resultado (ver passo seguinte).

Passo 7

Calcular a queda máxima de potencial ao longo de todo o filamento. Usando V=E_{\max}L ou V=I R. Faço com V=I R:
V_{\max}=I\;R=12,5\\ \mathrm{A}\times1,4539\times10^{-2}\\ \Omega\approx0,18174\\ \mathrm{V}.
Arredondando:
V_{\max}\approx0,182\\ \mathrm{V}.

Passo 8

Resumo numérico (valores arredondados com 3 algarismos significativos e unidades):
  • resistividade a 120^\circ\mathrm{C}: \rho(120^\circ\mathrm{C})=7,6125\times10^{-8}\\ \Omega\cdot\mathrm{m} (calculado a partir de \rho_0 e \alpha das tabelas).
  • área da seção: A\approx7,85398\times10^{-7}\\ \mathrm{m}^2.
  • densidade de corrente: J\approx1,59155\times10^{7}\\ \mathrm{A}/\mathrm{m}^2.
Motivação final e incentivo: você viu como ligar a tabela (valores de \rho_0 e \alpha) com as fórmulas básicas ( \rho(T), A=\pi r^2, J=I/A, E=\rho J, R=\rho L/A, V=IR). Na prova: identifique sempre primeiro se o problema pede valor em temperatura máxima/miníma e pegue a \rho correspondente, depois aplique as fórmulas em ordem — isso evita erro por confundir etapas. Vai dar certo, respira e confia no passo a passo!

Resposta

E_{\max}\approx1,21\\ \mathrm{V}/\mathrm{m}
R\approx1,45\times10^{-2}\\ \Omega
V_{\max}\approx0,182\\ \mathrm{V}

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