Um filamento cilíndrico de tungstênio com
de comprimento e diâmetro de
deve ser usado em uma máquina para a qual a temperatura variará entre a temperatura ambiente
e
. A corrente é de
sob qualquer temperatura (consulte as tabelas 25.1 e 25.2). (a) Qual será o campo elétrico máximo nesse filamento e (b) qual será sua resistência para esse campo? (c) Qual será a queda máxima de potencial por todo o comprimento do filamento?
e
| Substância |
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Substância |
|
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|---|---|---|---|---|
| Condutores | Semicondutores | |||
| Metais | Prata |
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Carbono puro (grafite) |
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| Cobre |
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Germânio puro | 0,60 | |
| Ouro |
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Silício puro | 2.300 | |
| Alumínio |
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Isolantes | ||
| Tungstênio |
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Âmbar |
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| Aço |
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Vidro |
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| Chumbo |
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Lucita |
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| Mercúrio |
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Mica |
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| Ligas | Manganina (Cu 84%, Mn 12%, Ni 4%) |
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Quartzo (fundido) |
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| Constantan (Cu 60%, Ni 40%) |
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Enxofre |
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| Nicromo |
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Teflon
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| Madeira |
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| Material |
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Material |
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|---|---|---|---|
| Alumínio | 0,0039 | Chumbo | 0,0043 |
| Latão | 0,0020 | Manganina | 0,00000 |
| Carbono (grafite) | -0,0005 | Mercúrio | 0,00088 |
| Constantan | 0,00001 | Nicromo | 0,0004 |
| Cobre | 0,00393 | Prata | 0,0038 |
| Ferro | 0,0050 | Tungstênio | 0,0045 |
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
Dados fornecidos (peguei os valores de resistividade e coeficiente térmico nas tabelas fornecidas):
- comprimento do filamento:
. - diâmetro do filamento:
. - corrente elétrica (constante em toda a faixa de temperatura):
. - resistividade do tungstênio na temperatura ambiente (peguei da tabela):
(valor a ). - coeficiente de temperatura do tungstênio (peguei da tabela):
. - temperaturas:
(referência da tabela) e temperatura máxima .
O enunciado pede:
(a) o campo elétrico máximo no filamento;
(b) a resistência correspondente a esse campo (ou seja, a resistência quando a resistência é máxima);
(c) a queda máxima de potencial ao longo de todo o filamento.
(a) o campo elétrico máximo no filamento;
(b) a resistência correspondente a esse campo (ou seja, a resistência quando a resistência é máxima);
(c) a queda máxima de potencial ao longo de todo o filamento.
Observação útil: como a corrente é constante e a resistividade aumenta com temperatura, todos os quantidades elétricas que dependem de
serão máximas em
. Vou calcular a resistividade em
e usar essa resistividade para (a), (b) e (c).
Passo 2
Como a resistividade varia aproximadamente linearmente com temperatura para metais próximos à faixa dada, uso a fórmula de variação linear:
Aqui:
-
é a resistividade à temperatura . -
é a resistividade na temperatura de referência . -
é o coeficiente de temperatura (por unidade de grau Celsius).
Substituindo os valores (pegueie das tabelas):
Calculo dentro do parêntese:
Logo
Passo 3
Calcular a área da seção transversal do fio (é circular). A área é
onde
é o raio. O raio é metade do diâmetro:
Então
Numericamente,
Passo 4
Calcular a densidade de corrente
. Definição:
onde
é a corrente e
a área da seção. Substituindo:
Passo 5
Relacionar campo elétrico
, densidade de corrente
e resistividade
. Para um material ôhmico localmente vale a lei de Ohm na forma:
onde
é o campo elétrico (V/m),
a resistividade (
) e
a densidade de corrente (
). Usando
(maior resistividade) e
calculado:
Fazendo a multiplicação:
Interpretação prática: o campo ao longo do fio é pequeno (ordem de 1 V/m) porque condutores têm resistividade muito baixa.
Passo 6
Calcular a resistência total do filamento na temperatura máxima. Fórmula da resistência de um condutor uniforme:
onde
é o comprimento do fio. Usando
,
e
:
Calcule o numerador:
Agora a divisão:
Arredondando de forma razoável:
Observação alternativa (cheque rápido): como
é o campo ao longo do fio, a diferença de potencial ao longo do comprimento também é
. Então
, que dá o mesmo resultado (ver passo seguinte).
Passo 7
Calcular a queda máxima de potencial ao longo de todo o filamento. Usando
ou
. Faço com
:
Arredondando:
Passo 8
Resumo numérico (valores arredondados com 3 algarismos significativos e unidades):
- resistividade a
: (calculado a partir de e das tabelas). - área da seção:
. - densidade de corrente:
.
Motivação final e incentivo: você viu como ligar a tabela (valores de
e
) com as fórmulas básicas (
,
,
,
,
,
). Na prova: identifique sempre primeiro se o problema pede valor em temperatura máxima/miníma e pegue a
correspondente, depois aplique as fórmulas em ordem — isso evita erro por confundir etapas. Vai dar certo, respira e confia no passo a passo!