Um filamento de corrente pelo qual passam 15 A na direção
se posiciona ao longo de todo eixo
. Calcule
coordenadas cartesianas em: (a)
; (b)
.
Passo 1
Vamos resolver um exercício de eletromagnetismo onde temos um filamento de corrente com 15 A de intensidade, posicionado ao longo do eixo $ z $. O objetivo é calcular o campo magnético $ \mathbf{H} $ nas coordenadas cartesianas nos pontos $ P_A(\sqrt{20}, 0, 4) $ e $ P_B(2, -4, 4) $.
Para isso, vamos utilizar a Lei de Ampère, que nos ajuda a determinar o campo magnético gerado por correntes elétricas. Precisamos entender como a corrente influencia o campo magnético ao redor dela e como calcular a intensidade e a direção desse campo nos pontos especificados.
Passo 2
Primeiramente, sabemos que para um fio retilíneo e infinito com corrente $ I $ ao longo do eixo $ z $, o campo magnético $ \mathbf{H} $ a uma distância $ r $ do fio é dado pela fórmula:
Aqui, $ I $ é a corrente (15 A) e $ r $ é a distância perpendicular do ponto onde queremos calcular o campo até o fio (eixo $ z $).
Passo 3
Vamos calcular a distância $ r $ de cada ponto até o eixo $ z $. As coordenadas dos pontos são $ P_A(\sqrt{20}, 0, 4) $ e $ P_B(2, -4, 4) $.
A distância $ r $ no plano $ xy $ pode ser calculada usando a fórmula:
Para $ P_A(\sqrt{20}, 0, 4) $:
Para $ P_B(2, -4, 4) $:
Passo 4
Com a distância $ r $ conhecida, podemos calcular a intensidade do campo magnético $ H $ em cada ponto usando a fórmula mencionada:
Passo 5
Agora, precisamos determinar a direção do campo magnético $ \mathbf{H} $ em cada ponto. Para um fio ao longo do eixo $ z $, o campo magnético circula em torno dele seguindo a regra da mão direita.
A direção do campo pode ser encontrada usando o ângulo $ \theta $ no plano $ xy $:
Para $ P_A(\sqrt{20}, 0, 4) $:
Aqui, $ y = 0 $ e $ x = \sqrt{20} $, então $ \theta = 0^\circ $.
Para $ P_B(2, -4, 4) $:
Aqui, $ x = 2 $ e $ y = -4 $, então:
Resposta
(a) No ponto $ P_A(\sqrt{20}, 0, 4) $, o campo magnético é $ \mathbf{H}_A \approx 0.530 , \mathbf{j} , A/m $.
(b) No ponto $ P_B(2, -4, 4) $, o campo magnético é $ \mathbf{H}_B \approx 0.474 , \mathbf{i} + 0.237 , \mathbf{j} , A/m $.