Um condutor sólido de seção reta circular é feito de um material não magnético homogêneo. Se o raio
, o eixo do condutor posiciona-se no eixo
e a corrente total na direção
é 20 A , calcule: (a)
; (b)
; © o fluxo magnético total por unidade de comprimento dentro do condutor; (
) o fluxo total para
; (
) o fluxo magnético total fora do condutor.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um condutor sólido com seção circular, raio de 1 mm, e uma corrente total de 20 A indo na direção do eixo $ z $. O material não é magnético e é homogêneo. A gente vai usar conceitos de magnetostática, especificamente a Lei de Ampère, para calcular os campos magnéticos e os fluxos magnéticos nas diferentes partes do condutor.
Passo 2
(a) Calcular $ H_{\phi} $ em $ \rho = 0,5 $ mm
Primeiro, vamos lembrar que a Lei de Ampère nos diz que:
Em coordenadas cilíndricas, para simetria,
é na direção
e constante ao longo do caminho de Ampère. O caminho de Ampère é um círculo de raio
.
Então:
Agora, como
mm está dentro do condutor (raio total 1 mm), a corrente está distribuída uniformemente. A corrente total é 20 A, então a densidade de corrente $ J $ é:
A corrente encerrada $ I_{enc} $ em $ \rho = 0,5 $ mm é:
Agora, aplicando na Lei de Ampère:
Passo 3
(b) Calcular $ B_{\phi} $ em $ \rho = 0,8 $ mm
Primeiro, lembrando que $ B = \mu_0 H $, onde $ \mu_0 = 4\pi \times 10^{-7} , T·m/A $.
Como $ \rho = 0,8 $ mm ainda está dentro do condutor (raio 1 mm), calculamos a corrente encerrada:
Aplicando na Lei de Ampère:
Agora, calculando $ B_{\phi} $:
Passo 4
© Calcular o fluxo magnético total por unidade de comprimento dentro do condutor
O fluxo magnético $ \Phi $ por unidade de comprimento é dado por:
Como o campo $ B $ é uniformemente distribuído e perpendicular à área, temos:
Dentro do condutor, a corrente está distribuída, então consideramos o $ B $ no raio médio. Mas uma abordagem mais precisa usa a integral desde 0 até $ a $:
Sabendo que $ B_{\phi} = \mu_0 H_{\phi} = \mu_0 \frac{I_{enc}}{2\pi \rho} = \mu_0 \frac{I \rho}{2\pi a^2} $ (pois $ I_{enc} = I \frac{\rho2}{a2} $),
Então:
Substituindo os valores:
Passo 5
(d) Calcular o fluxo total para $ \rho < 0,5 $ mm
Vamos usar a mesma abordagem do Passo 4, mas agora com $ \rho = 0,5 $ mm.
A corrente encerrada $ I_{enc} $ para $ \rho < 0,5 $ mm é 5 A (calculado no Passo 2).
Então, o fluxo magnético é:
Sabendo que $ B_{\phi} = \mu_0 H_{\phi} = \mu_0 \frac{I_{enc}}{2\pi \rho} = \mu_0 \frac{5}{2\pi \rho} $,
Então:
Passo 6
(e) Calcular o fluxo magnético total fora do condutor
Fora do condutor ($ \rho > a = 1 $ mm), a corrente total encerrada é 20 A.
O fluxo magnético por unidade de comprimento é:
Mas sabemos que para $ \rho > a $, o campo $ B_{\phi} = \mu_0 \frac{I}{2\pi \rho} $.
Então:
No entanto, isso resulta em infinito, o que não faz sentido físico. Na verdade, o fluxo magnético total fora do condutor corresponde apenas ao fluxo que passa através de uma área finita. Assim, o fluxo magnético externo efetivamente não contribui para o fluxo total do condutor, pois o campo magnético externo circula ao redor do condutor sem atravessar uma superfície fechada que contenha o condutor.
Portanto, o fluxo magnético total fora do condutor é zero.
Resposta
(a) $ H_{\phi} $ em $ \rho = 0,5 $ mm é aproximadamente $ 1591,55 , A/m $.
(b) $ B_{\phi} $ em $ \rho = 0,8 $ mm é cerca de $ 3,2 , mT $.
© O fluxo magnético total por unidade de comprimento dentro do condutor é aproximadamente $ 8,378 \times 10^{-9} , T·m $.
(d) O fluxo total para $ \rho < 0,5 $ mm é cerca de $ 3,14 \times 10^{-9} , T·m $.
(e) O fluxo magnético total fora do condutor é zero.