Calcule o valor do vetor densidade de corrente: (a) em coordenadas cartesianas em PA(2,3,4) se H=x^2 z ay-y^2 x az A / m ;(b) em coordenadas cilíndricas em PB(1,5,90^circ, 0,5) se H=2rho(cos 0,2 phi) arho A / m ;(c) em coordenadas esféricas em PC(2,30^circ, 20^circ) se H=1sen theta atheta A / m.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que temos aqui são três partes onde precisamos calcular o vetor densidade de corrente J em diferentes sistemas de coordenadas (cartesiano, cilíndrico e esférico). Para isso, vamos usar a relação entre o campo magnético H e a densidade de corrente, que é dada pelo rotor de H:
J = nabla times H
Então, vamos precisar saber como calcular o rotor ( nabla times) em cada sistema de coordenadas. Vamos nessa!

Passo 2

Parte (a): Coordenadas Cartesianas em PA(2,3,4)
Primeiro, temos H = x^2 z ay - y^2 x az. Vamos calcular o rotor em coordenadas cartesianas, onde o rotor de H = (Hx, Hy, Hz) é dado por:
nabla times H = ( partial Hzpartial y - partial Hypartial z ) ax + ( partial Hxpartial z - partial Hzpartial x ) ay + ( partial Hypartial x - partial Hxpartial y ) az
Vamos identificar Hx = 0, Hy = x^2 z e Hz = -y^2 x.

Passo 3

Calculando as derivadas:
partial Hzpartial y = partial (-y^2 x)partial y = -2y x
partial Hypartial z = partial (x^2 z)partial z = x^2
partial Hxpartial z = 0
partial Hzpartial x = partial (-y^2 x)partial x = -y^2
partial Hypartial x = partial (x^2 z)partial x = 2x z
partial Hxpartial y = 0

Passo 4

Substituindo nas componentes do rotor:
(nabla times H)x = (-2y x) - (x^2) = -2xy - x^2
(nabla times H)y = 0 - (-y^2) = y^2
(nabla times H)z = 2x z - 0 = 2x z
Então, o vetor densidade de corrente é:
J = (-2xy - x^2) ax + y^2 ay + 2x z az
Agora, vamos avaliar em PA(2,3,4):
x = 2, y = 3, z = 4
Substituindo:
J = [ -2(2)(3) - (2)^2 ] ax + (3)^2 ay + 2(2)(4) az
J = [ -12 - 4 ] ax + 9 ay + 16 az
J = -16 ax + 9 ay + 16 az A/m

Passo 5

Parte (b): Coordenadas Cilíndricas em PB(1,5,90^circ, 0,5)
Agora, temos H = 2rho (cos 0, 2phi) arho. Primeiro, vamos entender o que significa calcular o rotor em coordenadas cilíndricas. O rotor em cilindrico é mais complicado, mas a fórmula geral é:
nabla times H = ( 1rho partial Hzpartial phi - partial Hphipartial z ) arho + ( partial Hrhopartial z - partial Hzpartial rho ) aphi + 1rho ( partial (rho Hphi)partial rho - partial Hrhopartial phi ) az
No nosso caso, H tem apenas componente arho, então Hphi = 0 e Hz = 0.

Passo 6

Simplificando as componentes do rotor:
(nabla times H)rho = 0 - 0 = 0
(nabla times H)phi = partial Hrhopartial z - 0 = partial Hrhopartial z
(nabla times H)z = 1rho ( 0 - partial Hrhopartial phi ) = -1rho partial Hrhopartial phi
Dado que H = 2rho (cos 0, 2phi) arho, vamos interpretar isso como Hrho = 2rho cos(0, 2phi). Parece que há uma vírgula que pode indicar uma função específica, mas para simplificar, vamos assumir Hrho = 2rho cos(2phi).
Calculando as derivadas:
partial Hrhopartial z = 0 (H) não depende de $z$)

Passo 7

Substituindo nas componentes do rotor:
(nabla times H)rho = 0
(nabla times H)phi = 0
(nabla times H)z = -1rho ( -4rho sin(2phi) ) = 4rho^2 sin(2phi)
Então, o vetor densidade de corrente é:
J = 0 arho + 0 aphi + 4rho^2 sin(2phi) az A/m
Agora, vamos avaliar em PB(1,5,90^circ, 0,5). Aqui, rho = 1, phi = 5^circ. Convertendo phi para radianos ( 5^circ = pi36 rad):
J = 41^2 sin(2 cdot pi36) az = 4 sin(pi18) az A/m
Calculando o valor numérico:
sin(pi18) approx 0.1736
J approx 4 times 0.1736 az approx 0.694 az A/m

Passo 8

Parte ©: Coordenadas Esféricas em PC(2,30^circ,20^circ)
Agora, temos H = 1sin theta atheta. Vamos calcular o rotor em coordenadas esféricas. A fórmula do rotor em esférico para H = (Hrho, Htheta, Hphi) é:
nabla times H = 1rho sin theta [ partialpartial theta (Hphi sin theta) - partial Hthetapartial phi ] arho + 1rho [ 1sin theta partial Hrhopartial phi - partialpartial rho (rho Hphi) ] atheta + 1rho [ partial (rho Htheta)partial rho - partial Hrhopartial theta ] aphi
No nosso caso, H tem apenas componente atheta, então Hrho = 0 e Hphi = 0.

Passo 9

Simplificando as componentes do rotor:
(nabla times H)rho = 1rho sin theta (0 - partial Hthetapartial phi) = -1rho sin theta partial Hthetapartial phi
(nabla times H)theta = 1rho ( 0 - 0 ) = 0
(nabla times H)phi = 1rho ( partial (rho Htheta)partial rho - 0 ) = 1rho partial (rho Htheta)partial rho
Dado que H = 1sin theta atheta, temos Htheta = 1sin theta.
Calculando as derivadas:
partial Hthetapartial phi = 0 (H) não depende de $phi$)

Passo 10

Substituindo nas componentes do rotor:
(nabla times H)rho = 0
(nabla times H)theta = 0
(nabla times H)phi = 1rho cdot 1sin theta = 1rho sin theta
Então, o vetor densidade de corrente é:
J = 0 arho + 0 atheta + 1rho sin theta aphi A/m
Agora, vamos avaliar em PC(2,30^circ,20^circ). Aqui, rho = 2, theta = 30^circ, sin(30^circ) = 0.5:
J = 12 times 0.5 aphi = 11 aphi = 1 aphi A/m

Resposta

(a) J = -16, ax + 9, ay + 16, az , A/m
(b) J approx 0,694, az , A/m
© J = 1, aphi , A/m

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