Calcule o valor do vetor densidade de corrente: (a) em coordenadas cartesianas em
se
em coordenadas cilíndricas em
se
em coordenadas esféricas em
se
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que temos aqui são três partes onde precisamos calcular o vetor densidade de corrente
em diferentes sistemas de coordenadas (cartesiano, cilíndrico e esférico). Para isso, vamos usar a relação entre o campo magnético
e a densidade de corrente, que é dada pelo rotor de
:
Então, vamos precisar saber como calcular o rotor (
) em cada sistema de coordenadas. Vamos nessa!
Passo 2
Parte (a): Coordenadas Cartesianas em
Primeiro, temos
. Vamos calcular o rotor em coordenadas cartesianas, onde o rotor de
é dado por:
Vamos identificar
,
e
.
Passo 3
Calculando as derivadas:
Passo 4
Substituindo nas componentes do rotor:
Então, o vetor densidade de corrente é:
Agora, vamos avaliar em
:
Substituindo:
Passo 5
Parte (b): Coordenadas Cilíndricas em
Agora, temos
. Primeiro, vamos entender o que significa calcular o rotor em coordenadas cilíndricas. O rotor em cilindrico é mais complicado, mas a fórmula geral é:
No nosso caso,
tem apenas componente
, então
e
.
Passo 6
Simplificando as componentes do rotor:
Dado que
, vamos interpretar isso como
. Parece que há uma vírgula que pode indicar uma função específica, mas para simplificar, vamos assumir
.
Calculando as derivadas:
Passo 7
Substituindo nas componentes do rotor:
Então, o vetor densidade de corrente é:
Agora, vamos avaliar em
. Aqui,
,
. Convertendo
para radianos (
rad):
Calculando o valor numérico:
Passo 8
Parte ©: Coordenadas Esféricas em
Agora, temos
. Vamos calcular o rotor em coordenadas esféricas. A fórmula do rotor em esférico para
é:
No nosso caso,
tem apenas componente
, então
e
.
Passo 9
Simplificando as componentes do rotor:
Dado que
, temos
.
Calculando as derivadas:
Passo 10
Substituindo nas componentes do rotor:
Então, o vetor densidade de corrente é:
Agora, vamos avaliar em
. Aqui,
,
,
:
Resposta
(a)
(b)
©