O filamento de uma lâmpada incandescente tem uma resistência de 150 Omega e conduz uma corrente contínua de 1,0 A. O filamento é cilíndrico, tendo 8,0 cm de comprimento e 0,9 mm de raio.
Mostre que o fluxo do vetor de Poynting através da superfície do filamento é igual à potência dissipada em calor pelo efeito Joule no fio. Note que essa energia flui do espaço em torno do fio para dentro dele.

Passo 1

Beleza, então o enunciado diz: temos um filamento cilíndrico de lâmpada com resistência R = 150 Ω, corrente I = 1,0 A, comprimento L = 8,0 cm e raio a = 0,9 mm. A gente precisa mostrar que a energia que “entra” no fio, medida pelo fluxo do vetor de Poynting através da superfície lateral do cilindro, é exatamente a mesma potência que aquece o fio pelo efeito Joule.
Conteúdo envolvido: campo elétrico no condutor (Lei de Ohm local), campo magnético externo (Lei de Ampère), vetor de Poynting e integral de superfície.

Passo 2

Primeiro, encontramos o campo elétrico E = rho, J = l(R,pi a^2Lr),Ipi a^2,hat z = R,IL,hat z dentro do fio.
  1. Lei de Ohm local (versão diferencial) diz .
  2. A densidade de corrente é .
  3. A resistividade vem de , então .
    Logo

Passo 3

Agora, o campo magnético B(a) ;=; mu0,I2pi,a no sentido azimutal hatphi na superfície do cilindro vem da Lei de Ampère: para uma corrente I retilínea,
Então .

Passo 4

A gente usa o vetor de Poynting
S ;=; 1mu0, E times B
Como S = 1mu0,E,B = 1mu0,R,IL;mu0 I2pi a = R,I^22pi a,L aponta ao longo de e ao longo de , o produto vetorial dá direção radial (interna), e o módulo é

Passo 5

Para achar o fluxo de energia que entra no fio, integramos Phi = integrallat Scdot d A = S times (2pi a,L) = R,I^22pi a,L;times (2pi a,L) = R,I^2 na superfície lateral do cilindro (área ), com perpendicular a essa superfície:

Resposta

O fluxo do vetor de Poynting através da superfície do filamento é , exatamente igual à potência dissipada pelo efeito Joule no fio.

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