Considere
dada por
Você pode usar (não precisa calcular) que:
(a) Determine os intervalos onde
é crescente ou decrescente.
(b) Determine os intervalos onde
é côncava para baixo ou côncava para cima.
(c) Determine os pontos onde
é descontínua (se houver); os pontos de inflexão; máximos e mínimos locais e absolutos; assíntotas se houver.
(d) Faça o gráfico de
.
(b) Determine os intervalos onde
(c) Determine os pontos onde
(d) Faça o gráfico de
Passo 1
O enunciado define a função
e nos dá
Vamos usar
para estudar monotonicidade e
para concavidade, depois identificar descontinuidades, extremos, pontos de inflexão e assíntotas, e finalmente esboçar o gráfico.
Passo 2
Para monotonicidade, analisamos o sinal de
Como
para todo
, temos
e
Logo,
é crescente em
e decrescente em
, com ponto crítico em
.
Passo 3
Para concavidade, analisamos
Como
em
, segue
e
Portanto,
é côncava para baixo em
, côncava para cima em
, com ponto de inflexão em
.
Passo 4
– Descontinuidades:
é composta por funções elementares em
, logo não há pontos de descontinuidade.
– Pontos de inflexão: .
– Extremos locais e absolutos:
• Em , muda de crescente para decrescente, logo há máximo local e absoluto em
– Pontos de inflexão:
– Extremos locais e absolutos:
• Em
• Em
, como
, há mínimo local (e também global no domínio) com
.
– Assíntotas:
, logo a reta
é assíntota horizontal para
.
– Assíntotas:
Passo 5
Esboço do gráfico de
em
:
– Parte inicial em passa pela origem.
– Cresce até o máximo em .
– Muda de curvatura em .
– Decresce depois de , aproximando-se de zero quando
.
– Parte inicial em
– Cresce até o máximo em
– Muda de curvatura em
– Decresce depois de
Resposta
(a)
é crescente em
e decrescente em
.
(b) é côncava para baixo em
e côncava para cima em
.
(c) Não há descontinuidades; ponto de inflexão em ; máximo local e absoluto em
com valor
; mínimo local (global) em
com valor
; assíntota horizontal
quando
.
(d) Gráfico: inicia em , cresce até o pico em
, inflete em
, depois decresce e se aproxima de
.
(b)
(c) Não há descontinuidades; ponto de inflexão em
(d) Gráfico: inicia em