Considere f:[0, infty] [0, infty) dada por
f(x)=x e^-x^2
Você pode usar (não precisa calcular) que:
f^prime(x)=-2 e^-x^2(x^2-12), f^prime prime(x)=4 x e^-x^2(x^2-32)
(a) Determine os intervalos onde f é crescente ou decrescente.
(b) Determine os intervalos onde f é côncava para baixo ou côncava para cima.
(c) Determine os pontos onde f é descontínua (se houver); os pontos de inflexão; máximos e mínimos locais e absolutos; assíntotas se houver.
(d) Faça o gráfico de f.

Passo 1

O enunciado define a função
f:[0,infty)to[0,infty), f(x)=x e^-x^2,
e nos dá
f'(x)=-2e^-x^2l(x^2-tfrac12r), f''(x)=4x e^-x^2l(x^2-tfrac32r)
Vamos usar f' para estudar monotonicidade e f'' para concavidade, depois identificar descontinuidades, extremos, pontos de inflexão e assíntotas, e finalmente esboçar o gráfico.

Passo 2

Para monotonicidade, analisamos o sinal de
f'(x)=-2e^-x^2l(x^2-tfrac12r)
Como -2e^-x^2<0 para todo x>=0, temos
f'(x)>0iff x^2-tfrac12<0iff 0<= x<tfrac1raiz2,
e
f'(x)<0iff x^2-tfrac12>0iff x>tfrac1raiz2
Logo, f é crescente em [0,1/raiz2) e decrescente em (1/raiz2,infty), com ponto crítico em x=1/raiz2.

Passo 3

Para concavidade, analisamos
f''(x)=4x e^-x^2l(x^2-tfrac32r)
Como 4x e^-x^2>=0 em [0,infty), segue
f''(x)>0iff x^2-tfrac32>0iff x>raiztfrac32,
e
f''(x)<0iff x^2-tfrac32<0iff 0<= x<raiztfrac32
Portanto, f é côncava para baixo em [0,raiz3/2), côncava para cima em (raiz3/2,infty), com ponto de inflexão em x=raiz3/2.

Passo 4

– Descontinuidades: f é composta por funções elementares em [0,infty), logo não há pontos de descontinuidade.
– Pontos de inflexão: x=raiz3/2.
– Extremos locais e absolutos:
• Em x=1/raiz2, muda de crescente para decrescente, logo há máximo local e absoluto em
fl(1/raiz2r)=tfrac1raiz2e^-1/2
• Em x=0, como f'(0^+)>0, há mínimo local (e também global no domínio) com f(0)=0.
– Assíntotas:
limxtoinftyf(x)=0, logo a reta y=0 é assíntota horizontal para xtoinfty.

Passo 5

Esboço do gráfico de f(x)=x e^-x^2 em [0,infty):
– Parte inicial em x=0 passa pela origem.
– Cresce até o máximo em x=1/raiz2.
– Muda de curvatura em x=raiz3/2.
– Decresce depois de 1/raiz2, aproximando-se de zero quando xtoinfty.

Resposta

(a) f é crescente em [0,1/raiz2) e decrescente em (1/raiz2,infty).
(b) f é côncava para baixo em [0,raiz3/2) e côncava para cima em (raiz3/2,infty).
(c) Não há descontinuidades; ponto de inflexão em x=raiz3/2; máximo local e absoluto em x=1/raiz2 com valor 1/raiz2;e^-1/2; mínimo local (global) em x=0 com valor 0; assíntota horizontal y=0 quando xtoinfty.
(d) Gráfico: inicia em (0,0), cresce até o pico em (1/raiz2,1/raiz2,e^-1/2), inflete em x=raiz3/2, depois decresce e se aproxima de y=0.

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