Um filme de água ( 15^{\circ} \mathrm{C} ) em movimento permanente, laminar, escoa no sentido descendente e em plano inclinado de 30^{\circ} abaixo da horizontal. A espessura do filme é de 8 mm . Admitir que o escoamento está plenamente desenvolvido e que o gradiente de pressões é nulo.
Determinar a tensão de cisalhamento na superfície sólida e o volume escoado por unidade de largura.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas claras:
A tensão de cisalhamento na superfície sólida (no contato entre o filme de água e o plano inclinado).
O volume escoado por unidade de largura (ou seja, a vazão por largura, q, com unidades \mathrm{m}^2/\mathrm{s}).
Informações fornecidas pelo enunciado (resumidas e numerizadas):
Plano inclinado com ângulo \;30^\circ abaixo da horizontal.
Espessura do filme: h = 8\\ \mathrm{mm} = 0{,}008\\ \mathrm{m}.
Admitir gradiente de pressão nulo: \displaystyle \frac{dp}{dx}=0.
Observações importantes que usarei sem pedir mais nada:
Usarei as propriedades típicas da água a 15^\circ\mathrm{C}: densidade \rho = 999{,}1\\ \mathrm{kg/m^3} e viscosidade dinâmica \mu = 1{,}138\times 10^{-3}\\ \mathrm{Pa\cdot s}.
A gravidade vale g=9{,}81\\ \mathrm{m/s^2}.
Tomarei um eixo x ao longo do plano descendente e um eixo y perpendicular ao plano, com y=0 na parede sólida e y=h na superfície livre.
No contorno superior (superfície livre) desprezamos o cisalhamento do ar, logo \tau(y=h)=0.
O enunciado afirma escoamento laminar e plenamente desenvolvido, então podemos aplicar uma forma reduzida da equação de quantidade de movimento (Navier–Stokes) para o perfil de velocidade unidimensional.
Passo 2
Formulemos a equação diferencial que governa o perfil de velocidade. Para escoamento permanente, unidimensional e plenamente desenvolvido ao longo do plano inclinado, a equação de quantidade de movimento na direção x reduz-se a (forças viscosas + componente de peso = 0, e com \tfrac{dp}{dx}=0):
\mu \frac{d^2 u}{dy^2} + \rho g \sin\theta = 0,
onde:
\mu é a viscosidade dinâmica (\mathrm{Pa\cdot s}),
u(y) é a velocidade no sentido x em função de y,
\rho é a densidade (\mathrm{kg/m^3}),
g é a aceleração da gravidade (\mathrm{m/s^2}),
\theta é o ângulo do plano em relação à horizontal (aqui \theta=30^\circ).
Explicação didática: essa equação vem de equilibrar a força viscosa (termo com \mu) com a força de gravidade na direção do escoamento. Como o escoamento é plenamente desenvolvido não há variação de pressão ao longo do escoamento (o enunciado já disse \tfrac{dp}{dx}=0), então só resta essa relação entre viscosidade e componente tangencial do peso.
Passo 3
Integramos a equação duas vezes para achar u(y).
Defina A = \dfrac{\rho g \sin\theta}{\mu} (é conveniente para clareza).
A equação é \dfrac{d^2 u}{dy^2} = -A.
Primeira integração:
\frac{du}{dy} = -A y + C_1.
Condição na superfície livre: o cisalhamento lá é zero, ou seja \tau(y=h)=\mu \dfrac{du}{dy}\Big|_{y=h}=0. Assim \dfrac{du}{dy}\big|_{y=h}=0. Aplicando isso:
0 = -A h + C_1 \quad\Rightarrow\quad C_1 = A h.
Portanto
\frac{du}{dy} = A(h-y).
Segunda integração:
u(y) = A\left(h y - \frac{y^2}{2}\right) + C_2.
Condição de não deslizamento na parede sólida: u(0)=0. Assim C_2=0. Logo o perfil de velocidade é
u(y) = \frac{\rho g \sin\theta}{\mu}\left(h y - \frac{y^2}{2}\right).
Comentário didático: essa é uma parábola em y. Note que u(0)=0 (paredes não deslizam) e \dfrac{du}{dy}|_{y=h}=0 (tensão zero na superfície livre), como exigido.
Passo 4
Determinar a tensão de cisalhamento na superfície sólida. A tensão de cisalhamento em posição y é \tau(y)=\mu \dfrac{du}{dy}. Usando \dfrac{du}{dy}=A(h-y) temos
Pequena explicação: a unidade \mathrm{m^2/s} é correta porque é volume por unidade de largura (vazão por largura) — se a largura for 1\\ \mathrm{m}, isso equivale a 0{,}7347\\ \mathrm{m^3/s}.
Como checagem rápida (opcional): velocidade média \bar{u}=q/h\approx 0{,}7347/0{,}008\approx 91{,}8\\ \mathrm{m/s} e velocidade no topo u(h)=\dfrac{\rho g \sin\theta}{\mu}\dfrac{h^2}{2}\approx 137{,}7\\ \mathrm{m/s}. Esses números são elevados porque o filme é relativamente grosso para água (e a viscosidade é pequena); como o enunciado dizia “laminar”, usamos a teoria laminar, mas na prática tal escoamento poderia tornar-se turbulento a estas velocidades (isso foge do pedido, só é uma observação).