Um tubo circular transporta
a
de água. A perda de pressão em 35 ft de comprimento é igual a
de Hg . Qual o raio interno do tubo?
Passo 1
O enunciado pede o raio interno do tubo, e nos dá as seguintes informações (vou listar tudo explicitamente para não nos perdermos):
O que queremos: o raio interno do tubo
. Não vou resolver nada ainda — só deixei claro o que está dado e o que é pedido.
Passo 2
Plano geral (não é a resolução completa ainda, só o que vamos usar): para fluxo em tubos usamos a equação de Darcy–Weisbach que relaciona perda de carga (head)
com velocidade média
, comprimento
, diâmetro
e fator de atrito
:
Aqui
é a aceleração da gravidade (
),
é o diâmetro interno do tubo e
é a velocidade média do fluido. A velocidade se obtém pela vazão e a área:
Para tubos com escoamento laminar (Reynolds pequeno) vale
e
, em que
é a viscosidade cinemática da água. Substitindo
e
aparece uma expressão direta em que
é proporcional a
. Vamos aplicar isso; antes, fazemos as conversões e escolhemos valores físicos.
Passo 3
Conversões e valores físicos (vou trabalhar em unidades SI para as fórmulas hidráulicas; converto os dados):
Como
e
, temos
Dividindo por
para ficar em
:
Agora a perda de pressão foi dada em pés de mercúrio:
. Converto para metros:
Esse
é altura de mercúrio; a perda de carga em termos de cabeça de água
(a que aparece na Darcy) é dada por igualdade de pressão:
Vou usar densidade do mercúrio
(valor padrão) e densidade da água a
aproximada como
(diminui com a temperatura). Assim
Portanto a perda de carga expressa em metros de água é
.
Passo 4
Escolha da viscosidade cinemática
da água a
(
). Valores tabelados dão
na faixa
a
. Vou usar
(como valor típico a essa temperatura). Se você usar outro valor tabelado próximo, o resultado muda pouco. Também
e
.
Passo 5
Derivação da fórmula prática para o caso laminar. Para escoamento laminar em tubo cilindro:
Substituindo
em Darcy:
Mas
. Substituindo:
Rearranjando para
:
Passo 6
Agora substituo os números (tudo em SI):
Compute o numerador:
Compute o denominador:
Então
Tirando a quarta raiz:
Logo o raio
Passo 7
Converto o raio para unidades mais familiares (polegadas), lembrando
:
Verificação rápida da hipótese laminar: velocidade média
Reynolds
na verdade
, que é menor que
: o escoamento é laminar, então a escolha de
foi correta.