Uma parede é constituida de chapas alternadas, de diferentes materiais, feitas da mesma espessura \mathrm{d}= 0,08 \mathrm{~cm}. Os coeficientes de condutibilidade térmica das chapas são iguais \mathrm{K} 1=0,0336 \mathrm{~W} \mathrm{~m}^{\circ} \mathrm{C} e \mathrm{K} 2= 0,092 \mathrm{Wm}{ }^{\circ} \mathrm{C}. As áreas das seções transversais das chapas são iguais a 1 \mathrm{~m}^{2} e o número de chapas de cada material é igual. As temperaturas das superficies externas das paredes são iguais a T1 250^{\circ} \mathrm{C} e T2 = 36^{\circ} \mathrm{C}. Calcule Q e q.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede o que está escrito abaixo. Vou listar tudo de forma clara para a gente não se perder:\n
  • Espessura de cada chapa: d = 0,08\\ \text{cm}.\n
  • Condutividades térmicas: K_1 = 0,0336\\ \mathrm{W\,m^{-1}\,^\circ C^{-1}} e K_2 = 0,092\\ \mathrm{W\,m^{-1}\,^\circ C^{-1}}.\n
  • Área da seção transversal de cada chapa: A = 1\\ \mathrm{m^2}.\n
  • O número de chapas de cada material é igual. O enunciado não diz esse número explicitamente, então eu vou chamar esse número de N (ou seja, há N chapas do material 1 e N chapas do material 2).\n
  • Temperaturas das superfícies externas: T_1 = 250^\circ\mathrm{C} e T_2 = 36^\circ\mathrm{C}.\n
  • O que pedir: calcular Q (taxa de transferência de calor total em W) e q (fluxo de calor por área, em \mathrm{W/m^2}).\n
    Observação: como A=1\\ \mathrm{m^2}, numericamente Q e q vão coincidir (pois q=Q/A), mas vou manter ambos nomes claros.

Passo 2

Entendendo a física e a fórmula que vamos usar (aulas rápidas — fique tranquilo, eu explico devagar).\n
Quando o calor atravessa camadas planas em série (uma depois da outra), em regime estacionário a mesma taxa de calor Q atravessa todas as camadas. Cada camada tem uma “resistência térmica” análoga à resistência elétrica. A resistência térmica de uma camada homogênea com espessura L, condutividade K e área A é dada por:\n
R=\frac{L}{K\,A}\n
Explicação das variáveis nessa fórmula:\n
  • R é a resistência térmica da camada (unidade: \mathrm{K/W}).\n
  • L é a espessura da camada (em metros).\n
  • K é a condutividade térmica do material (em \mathrm{W\,m^{-1}\,^\circ C^{-1}}).\n
  • A é a área perpendicular ao fluxo de calor (em \mathrm{m^2}).\n
    Se há várias camadas em série, as resistências somam:\n
R_{\text{total}}=\sum_i R_i\n
A taxa de calor é dada por uma lei análoga à lei de Ohm:\n
Q=\frac{\Delta T}{R_{\text{total}}}\n
onde \Delta T = T_1 - T_2 é a diferença de temperatura entre as faces externas.

Passo 3

Converter unidades e preparar os valores numéricos (sempre um passo essencial em prova!).\n
  • Converter d de centímetros para metros:\n
d = 0,08\\ \text{cm} = 0,08\times 10^{-2}\\ \text{m} = 0,0008\\ \text{m}.\n
  • Diferença de temperatura:\n
\Delta T = T_1 - T_2 = 250^\circ\mathrm{C} - 36^\circ\mathrm{C} = 214\\ \text{(graus)}.\n
(Lembre: diferença de temperatura em °C e em K é numericamente igual.)

Passo 4

Calcular a resistência térmica de cada chapa (por chapa). Como as chapas têm a mesma área A=1\\ \mathrm{m^2} e espessura d, temos:\n
Resistência de uma chapa do material 1:\n
R_1=\frac{d}{K_1 A}=\frac{0,0008}{0,0336\cdot 1}=0,0238095238\\ \mathrm{K/W}\approx 0,02381\\ \mathrm{K/W}.\n
Resistência de uma chapa do material 2:\n
R_2=\frac{d}{K_2 A}=\frac{0,0008}{0,092\cdot 1}=0,00869565217\\ \mathrm{K/W}\approx 0,00869565\\ \mathrm{K/W}.

Passo 5

Resistência de um par (uma chapa de cada material) e resistência total do conjunto.\n
  • Resistência de um par (material 1 + material 2):\n
R_{\text{par}}=R_1+R_2=0,0238095238+0,00869565217=0,03250517597\\ \mathrm{K/W}\approx 0,032505176\\ \mathrm{K/W}.\n
  • Como há N chapas de cada material, temos N pares, logo a resistência total é:\n
R_{\text{total}}=N\cdot R_{\text{par}}=N\cdot 0,032505176\\ \mathrm{K/W}.

Passo 6

Aplicar a fórmula para Q usando a diferença de temperatura e a resistência total.\n
Q=\frac{\Delta T}{R_{\text{total}}}=\frac{214}{N\cdot 0,032505176}\\ \mathrm{W}.\n
Fazendo a divisão numérica (pré-computada):\n
Q=\frac{6584,56}{N}\\ \mathrm{W}\quad\text{(aproximadamente)}.\n
Como A=1\\ \mathrm{m^2}, o fluxo por unidade de área é\n
q=\frac{Q}{A}=Q,\n
isto é,\n
q=\frac{6584,56}{N}\\ \mathrm{W/m^2}.

Passo 7

Interpretação prática e dica para prova:\n
  • Se na prova o enunciado realmente quisesse um valor numérico único, normalmente ele daria N ou então esperaria N=1 (um par de chapas). Para o caso N=1 obtemos Q\approx 6584,56\\ \mathrm{W} e q\approx 6584,56\\ \mathrm{W/m^2}.\n
  • Se N for outro número, basta dividir 6584,56 por N.\n
    Força aí — lembra: primeiro identifique N no enunciado; se não estiver, escreva a resposta em função de N (isso mostra organização e entendimento).

Resposta

\displaystyle Q=\frac{6584,56}{N}\\ \mathrm{W}\n
\displaystyle q=\frac{6584,56}{N}\\ \mathrm{W/m^2}

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