Uma parede é constituida de chapas alternadas, de diferentes materiais, com as seguintes espessuras: dl =0,08 \mathrm{~cm} e \mathrm{d} 2=0,05 \mathrm{~cm}. Os coeficientes de condutibilidade térmica das chapas săo iguais a: \mathrm{K} 1=0,0336 \mathrm{W} \backslash \mathrm{m}^{\circ} \mathrm{C} e \mathrm{K} 2=0,092 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{\circ} \mathrm{C}. As áreas das seções transversais das chapas são iguais a 1 \mathrm{~m}^{2} \mathrm{e} o número de chapas de cada material é igual. As temperaturas das superficies externas das paredes sāo iguais a T1 250^{\circ} \mathrm{C} e \mathrm{T} 2=36^{\circ} \mathrm{C}. Calcule Q , q e a temperatura da interface entre as paredes.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede o que segue:
  • Espessuras das chapas: d_1 = 0,08\\ \text{cm},\qquad d_2 = 0,05\\ \text{cm}
  • Condutividades térmicas: K_1 = 0,0336\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^\circ\mathrm{C},\qquad K_2 = 0,092\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^\circ\mathrm{C}
  • Área da seção transversal de cada chapa: A = 1\\ \mathrm{m}^2
  • As temperaturas das superfícies externas: T_1 = 250^\circ\mathrm{C},\qquad T_2 = 36^\circ\mathrm{C}
  • Observação dada pelo enunciado: o número de chapas de cada material é igual. Aqui vamos considerar a situação usual (uma chapa de cada material em série formando a parede composta), ou seja, duas camadas em série: uma de material 1 e outra de material 2 (se houver mais camadas repetidas, o método é o mesmo multiplicando as resistências).
O que se pede:
  • Calcular Q (taxa de calor, em \mathrm{W}),
  • Calcular q (fluxo de calor por área, em \mathrm{W}/\mathrm{m}^2),
  • Calcular a temperatura na interface entre as duas chapas.

Passo 2

Primeiro converto as espessuras para metros (porque as condutividades estão em \mathrm{W}/\mathrm{m}^\circ\mathrm{C}):
d_1 = 0,08\\ \text{cm} = 0,0008\\ \text{m}, \qquad d_2 = 0,05\\ \text{cm} = 0,0005\\ \text{m}.
Área já está em \mathrm{m}^2: A=1\\ \mathrm{m}^2.

Passo 3

A ideia física (passo-a-passo, como se fôssemos montar a resolução na prova):
  • Para condução estacionária unidimensional através de uma lâmina homogênea de área A, espessura d e condutividade K, a resistência térmica à condução é R = \frac{d}{K\,A}.Aqui R tem unidades \mathrm{K}/\mathrm{W}, e representa quanto “resiste” a passagem de calor.
  • Para camadas em série (calor passa por uma depois pela outra), as resistências somam: R_{\text{total}} = R_1 + R_2.
  • A taxa de calor (diferença de temperatura dividida pela resistência total) é Q = \frac{T_1 - T_2}{R_{\text{total}}}.
  • O fluxo de calor por área é q = \frac{Q}{A}.
  • A temperatura na interface, T_{\text{int}}, é a temperatura depois da primeira lâmina (ou antes da segunda). Podemos obter por T_{\text{int}} = T_1 - Q\,R_1(queda de temperatura através da primeira camada) — alternativa equivalente: T_{\text{int}} = T_2 + Q\,R_2.
Vou aplicar essas fórmulas com cuidado nas contas.

Passo 4

Calculo as resistências de cada lâmina:
R_1=\frac{d_1}{K_1 A}=\frac{0,0008}{0,0336\cdot 1}.
Fazendo a divisão obtemos um valor simples (note que 0,0008/0,0336 = 1/42):
R_1 = \frac{1}{42}\\ \mathrm{K}/\mathrm{W}\approx 0,0238095238\\ \mathrm{K}/\mathrm{W}.
Agora R_2:
R_2=\frac{d_2}{K_2 A}=\frac{0,0005}{0,092\cdot 1}.
Isso resulta em R_2 = \frac{1}{184}\\ \mathrm{K}/\mathrm{W}\approx 0,0054347826\\ \mathrm{K}/\mathrm{W}.

Passo 5

Somo as resistências para obter a resistência total:
R_{\text{total}} = R_1 + R_2 = \frac{1}{42} + \frac{1}{184}.
Fazendo a soma em frações:
R_{\text{total}} = \frac{184 + 42}{42\cdot 184} = \frac{226}{7728} = \frac{113}{3864}\\ \mathrm{K}/\mathrm{W}.
Em valor decimal:
R_{\text{total}}\approx 0,0292443064\\ \mathrm{K}/\mathrm{W}.

Passo 6

Calculo a taxa de calor Q. A diferença de temperatura é
\Delta T = T_1 - T_2 = 250 - 36 = 214^\circ\mathrm{C}.
Logo
Q = \frac{\Delta T}{R_{\text{total}}} = \frac{214}{113/3864} = 214\cdot\frac{3864}{113}.
Calculando numericamente:
Q \approx 7\,317,66\\ \mathrm{W}.
Como A=1\\ \mathrm{m}^2, o fluxo por unidade de área é
q = \frac{Q}{A} = Q \approx 7\,317,66\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^2.

Passo 7

Calculo a temperatura na interface. Uso a queda de temperatura na primeira lâmina:
\Delta T_1 = Q\,R_1 = Q\cdot\frac{1}{42}.
Usando Q em forma fracionária dá uma simplificação elegante:
Q\,R_1 = \left(214\cdot\frac{3864}{113}\right)\cdot\frac{1}{42} = \frac{214\cdot 3864}{113\cdot 42} = \frac{19688}{113}\approx 174,2300885^\circ\mathrm{C}.
Portanto a temperatura da interface é
T_{\text{int}} = T_1 - \Delta T_1 = 250 - 174,2300885 \approx 75,7699115^\circ\mathrm{C}.
(Verificação alternativa: T_2 + Q R_2 = 36 + Q\cdot\frac{1}{184} \approx 36 + 39,7699115 = 75,7699115^\circ\mathrm{C}, coincide.)

Resposta

Q \approx 7\,317,66\\ \mathrm{W}
q \approx 7\,317,66\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^2
T_{\text{interface}} \approx 75,77^\circ\mathrm{C}

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