No filme Titanic de 1997, dirigido por James Cameron, Jack e Rose estão dançando em uma festa no interior do navio girando com as mão dadas, distanciando-se por 1,2 \mathrm{~m}, a uma velocidade angular de \omega=\pi / 2 \mathrm{rad} / \mathrm{s}. De repente eles se soltam e saem com a mesma velocidade linear, mas em sentidos opostos. Sabemos que ambos possuem a mesma massa, \mathrm{m}=60 \mathrm{~kg}. Qual das alternativas corresponde energia cinética de rotação deles e a velocidade linear que se soltaram? Considere \sqrt{1 / 30}=0,18.
(a) E_{c R}=72 \pi^{2} J e 1,08 \pi \mathrm{~m} / \mathrm{s}.
(b) E_{c R}=36 \pi^{2} J e 0,54 \pi \mathrm{~m} / \mathrm{s}.
(c) E_{c R}=18 \pi^{2} \mathrm{~J} e 1,08 \pi \mathrm{~m} / \mathrm{s}.
(d) E_{c R}=36 \pi^{2} J e 1,08 \pi \mathrm{~m} / \mathrm{s}.
(e) E_{c R}=18 \pi^{2} J e 0,54 \pi \mathrm{~m} / \mathrm{s}.

Passo 1

O enunciado diz o seguinte (vou listar tudo certinho para a gente não se perder):
\text{Distância entre Jack e Rose} = 1,2\\ \mathrm{m}.â
\omega = \dfrac{\pi}{2}\\ \mathrm{rad/s}.
\text{massa de cada um} = m = 60\\ \mathrm{kg}.
As perguntas implícitas: qual é a energia cinética de rotação do sistema (dos dois juntos) antes de se soltarem, e qual é a velocidade linear com que cada um sai ao se soltarem (eles saem tangencialmente com a mesma velocidade, em sentidos opostos).
Anotei tudo que o enunciado deu; agora vou explicar as fórmulas e calcular passo a passo.

Passo 2

Ligação entre velocidade angular e velocidade linear (aulas básicas): se um ponto está a uma distância r do eixo e gira com velocidade angular \omega, sua velocidade tangencial (linear) é
v = \omega r.
Aqui os dois giram um ao redor do outro com as mãos dadas; o eixo de rotação é o ponto médio entre eles, então a distância de cada um ao eixo é metade da distância entre eles. Assim
r = \dfrac{1,2}{2} = 0,6\\ \mathrm{m}.

Passo 3

Calcular a velocidade linear com que cada um se soltou (aplicando v=\omega r). Substituindo:
v = \left(\dfrac{\pi}{2}\right)\cdot 0,6 = 0,3\pi\\ \mathrm{m/s}.
Explicando: multipliquei a velocidade angular pelo raio; 0,6\times \dfrac{1}{2}=0,3.

Passo 4

Agora a energia cinética de rotação do sistema. Para partículas puntiformes (ou corpos concentrados nas suas posições), o momento de inércia em relação ao eixo é
I=\sum m_i r_i^2.
Aqui há duas massas idênticas a mesma distância r, então
I = 2 m r^2.
A energia cinética de rotação é dada por
E_{cR} = \dfrac{1}{2} I \omega^2.
Substituindo I=2 m r^2 obtemos a forma simplificada
E_{cR} = \dfrac{1}{2}\cdot (2 m r^2)\omega^2 = m r^2 \omega^2.
Isso faz sentido também pela soma das energias cinéticas translacionais (antes da soltura cada um tem \tfrac{1}{2}m v^2; somando as duas dá m v^2, e como v=\omega r obtemos m(\omega r)^2).

Passo 5

Substituir os valores numéricos em E_{cR}=m r^2 \omega^2.
r=0,6,\quad m=60,\quad \omega=\dfrac{\pi}{2}.
E_{cR} = 60\cdot (0,6)^2 \cdot \left(\dfrac{\pi}{2}\right)^2.
Calcule por partes:
(0,6)^2 = 0,36,
\left(\dfrac{\pi}{2}\right)^2 = \dfrac{\pi^2}{4}.
Então
E_{cR} = 60 \cdot 0,36 \cdot \dfrac{\pi^2}{4}.
60\cdot 0,36 = 21,6,
21,6\cdot \dfrac{1}{4} = 5,4.
Logo
E_{cR} = 5,4\,\pi^2\\ \mathrm{J}.

Passo 6

Interpretando o resultado e conferindo com as energias individuais: cada um ao se soltar tem energia cinética translacional
E_{\text{cada}} = \tfrac{1}{2} m v^2.
Com v=0,3\pi,
E_{\text{cada}} = \tfrac{1}{2}\cdot 60\cdot (0,3\pi)^2 = 30\cdot 0,09\pi^2 = 2,7\pi^2.
Somando os dois:
2\cdot 2,7\pi^2 = 5,4\pi^2,
que é exatamente a energia de rotação encontrada — consistência física verificada (energia rotacional virou energia cinética dos dois ao se soltarem).

Passo 7

Comparando com as alternativas fornecidas: os valores que eu calculei são
E_{cR} = 5,4\pi^2\\ \mathrm{J}\quad\text{e}\quad v = 0,3\pi\\ \mathrm{m/s}.
Nenhuma das alternativas (a)–(e) apresenta esses números. Portanto, nenhuma das alternativas corresponde ao resultado correto obtido com a interpretação natural (e usual) do enunciado (distância entre eles =1,2 m → cada um a r=0,6 m do eixo).

Resposta

E_{cR}=5,4\pi^{2}\\ \mathrm{J}
v=0,3\pi\\ \mathrm{m/s}

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