No filme Titanic de 1997, dirigido por James Cameron, Jack e Rose estão dançando em uma festa no interior do navio girando com as mão dadas, distanciando-se por
, a uma velocidade angular de
. De repente eles se soltam e saem com a mesma velocidade linear, mas em sentidos opostos. Sabemos que ambos possuem a mesma massa,
. Qual das alternativas corresponde energia cinética de rotação deles e a velocidade linear que se soltaram? Considere
.
(a)
J e
.
(b)
J e
.
(c)
e
.
(d)
J e
.
(e)
J e
.
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
Passo 1
O enunciado diz o seguinte (vou listar tudo certinho para a gente não se perder):
As perguntas implícitas: qual é a energia cinética de rotação do sistema (dos dois juntos) antes de se soltarem, e qual é a velocidade linear com que cada um sai ao se soltarem (eles saem tangencialmente com a mesma velocidade, em sentidos opostos).
Anotei tudo que o enunciado deu; agora vou explicar as fórmulas e calcular passo a passo.
Anotei tudo que o enunciado deu; agora vou explicar as fórmulas e calcular passo a passo.
Passo 2
Ligação entre velocidade angular e velocidade linear (aulas básicas): se um ponto está a uma distância
do eixo e gira com velocidade angular
, sua velocidade tangencial (linear) é
Aqui os dois giram um ao redor do outro com as mãos dadas; o eixo de rotação é o ponto médio entre eles, então a distância de cada um ao eixo é metade da distância entre eles. Assim
Passo 3
Calcular a velocidade linear com que cada um se soltou (aplicando
). Substituindo:
Explicando: multipliquei a velocidade angular pelo raio;
.
Passo 4
Agora a energia cinética de rotação do sistema. Para partículas puntiformes (ou corpos concentrados nas suas posições), o momento de inércia em relação ao eixo é
Aqui há duas massas idênticas a mesma distância
, então
A energia cinética de rotação é dada por
Substituindo
obtemos a forma simplificada
Isso faz sentido também pela soma das energias cinéticas translacionais (antes da soltura cada um tem
; somando as duas dá
, e como
obtemos
).
Passo 5
Substituir os valores numéricos em
.
Calcule por partes:
Então
Logo
Passo 6
Interpretando o resultado e conferindo com as energias individuais: cada um ao se soltar tem energia cinética translacional
Com
,
Somando os dois:
que é exatamente a energia de rotação encontrada — consistência física verificada (energia rotacional virou energia cinética dos dois ao se soltarem).
Passo 7
Comparando com as alternativas fornecidas: os valores que eu calculei são
Nenhuma das alternativas (a)–(e) apresenta esses números. Portanto, nenhuma das alternativas corresponde ao resultado correto obtido com a interpretação natural (e usual) do enunciado (distância entre eles
m → cada um a
m do eixo).