Um motor elétrico estava girando as paletas de um ventilador a uma velocidade de 480 rpm . Após uma queda de energia, 3 segundos depois, o ventilador está girando a 240 rpm . Na condição de que esta desaceleração angular permaneça constante, qual é a quantidade de total de rotações que as paletas fizeram desde que houve a queda de energia até o ventilador parar?
(a) 18 rotações.
(b) 36 rotações.
(c) 24 rotações.
(d) 1080 rotações.
(e) 1440 rotações.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e faz esta pergunta:
  • Informação: a velocidade de rotação inicial é \,480\\ \text{rpm}\, (no momento da queda de energia).
  • Informação: após 3 segundos, a velocidade de rotação é \,240\\ \text{rpm}\,.
  • Informação: a desaceleração angular é constante (ou seja, a velocidade angular decresce de forma uniforme no tempo).
  • Pergunta: qual é a quantidade total de rotações (voltas) que as paletas fizeram desde a queda de energia até o ventilador parar?

Passo 2

Primeiro vamos converter as velocidades de \text{rpm} (rotações por minuto) para \text{rev/s} (rotações por segundo), porque o tempo dado está em segundos. A conversão é dividir por 60.
480\\ \text{rpm} = \frac{480}{60}\\ \text{rev/s} = 8\\ \text{rev/s}
240\\ \text{rpm} = \frac{240}{60}\\ \text{rev/s} = 4\\ \text{rev/s}
Vou chamar \omega_0 a velocidade inicial em \text{rev/s} e \omega(t) a velocidade no tempo t. Assim \omega_0 = 8\\ \text{rev/s} e \omega(3)=4\\ \text{rev/s}.

Passo 3

Com desaceleração angular constante usamos a equação cinemática para rotação (análogo à MRUV linear):
\omega(t) = \omega_0 + \alpha t,
onde \alpha é a aceleração angular (aqui será negativa, porque é desaceleração), \omega está em \text{rev/s} e t em segundos. Usamos o ponto t=3 com \omega(3)=4 para achar \alpha:
4 = 8 + \alpha\cdot 3.
Isolando \alpha:
\alpha = \frac{4-8}{3} = \frac{-4}{3}\\ \text{rev/s}^2.
Isso significa que a velocidade diminui em 4/3 rev/s a cada segundo.

Passo 4

Agora calculamos quanto tempo leva para o ventilador parar completamente (quando \omega=0). Usamos a mesma fórmula com \omega(t_{\text{stop}})=0:
0 = \omega_0 + \alpha t_{\text{stop}} \quad\Rightarrow\quad t_{\text{stop}} = -\frac{\omega_0}{\alpha}.
Substituindo \omega_0=8 e \alpha=-\tfrac{4}{3}:
t_{\text{stop}} = -\frac{8}{-4/3} = 8\cdot\frac{3}{4}=6\\ \text{s}.
Portanto, desde a queda de energia até parar totalmente passam 6 segundos (isso inclui os primeiros 3 segundos já mencionados).

Passo 5

Queremos o número total de rotações no intervalo t\in[0,t_{\text{stop}}]. Para desaceleração constante, o número de rotações é a área sob o gráfico velocidade-tempo; equivalente a velocidade média multiplicada pelo tempo total. A velocidade média é
\bar{\omega}=\frac{\omega_0+\omega_{\text{final}}}{2}=\frac{8+0}{2}=4\\ \text{rev/s}.
Multiplicando pela duração total t_{\text{stop}}=6\\ \text{s}:
\text{rotações totais}=\bar{\omega}\cdot t_{\text{stop}} = 4\cdot 6 = 24\\ \text{rotações}.çõçõ

Passo 6

(Verificação alternativa, dividindo em dois intervalos de 3 s cada:)
  • Nas primeiras 3 s a velocidade caiu de 8 para 4 rev/s; rotações nesse intervalo = velocidade média \frac{8+4}{2}=6 rev/s vezes 3 s = 18 rotações.
  • Nas próximas 3 s a velocidade caiu de 4 para 0 rev/s; rotações nesse intervalo = velocidade média \frac{4+0}{2}=2 rev/s vezes 3 s = 6 rotações.
    Total 18+6=24 rotações, consistente com o cálculo anterior.

Resposta

(c) 24 rotações.

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