Um motor elétrico estava girando as paletas de um ventilador a uma velocidade de 480 rpm . Após uma queda de energia, 3 segundos depois, o ventilador está girando a 240 rpm . Na condição de que esta desaceleração angular permaneça constante, qual é a quantidade de total de rotações que as paletas fizeram desde que houve a queda de energia até o ventilador parar?
(a) 18 rotações.
(b) 36 rotações.
(c) 24 rotações.
(d) 1080 rotações.
(e) 1440 rotações.
(a) 18 rotações.
(b) 36 rotações.
(c) 24 rotações.
(d) 1080 rotações.
(e) 1440 rotações.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e faz esta pergunta:
- Informação: a velocidade de rotação inicial é
(no momento da queda de energia). - Informação: após
segundos, a velocidade de rotação é . - Informação: a desaceleração angular é constante (ou seja, a velocidade angular decresce de forma uniforme no tempo).
- Pergunta: qual é a quantidade total de rotações (voltas) que as paletas fizeram desde a queda de energia até o ventilador parar?
Passo 2
Primeiro vamos converter as velocidades de
(rotações por minuto) para
(rotações por segundo), porque o tempo dado está em segundos. A conversão é dividir por
.
Vou chamar
a velocidade inicial em
e
a velocidade no tempo
. Assim
e
.
Passo 3
Com desaceleração angular constante usamos a equação cinemática para rotação (análogo à MRUV linear):
onde
é a aceleração angular (aqui será negativa, porque é desaceleração),
está em
e
em segundos. Usamos o ponto
com
para achar
:
Isolando
:
Isso significa que a velocidade diminui em
rev/s a cada segundo.
Passo 4
Agora calculamos quanto tempo leva para o ventilador parar completamente (quando
). Usamos a mesma fórmula com
:
Substituindo
e
:
Portanto, desde a queda de energia até parar totalmente passam
segundos (isso inclui os primeiros
segundos já mencionados).
Passo 5
Queremos o número total de rotações no intervalo
. Para desaceleração constante, o número de rotações é a área sob o gráfico velocidade-tempo; equivalente a velocidade média multiplicada pelo tempo total. A velocidade média é
Multiplicando pela duração total
:
Passo 6
(Verificação alternativa, dividindo em dois intervalos de 3 s cada:)
- Nas primeiras
s a velocidade caiu de para rev/s; rotações nesse intervalo = velocidade média rev/s vezes s = rotações. - Nas próximas
s a velocidade caiu de para rev/s; rotações nesse intervalo = velocidade média rev/s vezes s = rotações.
Totalrotações, consistente com o cálculo anterior.
Resposta
(c)
rotações.