Filtra-se uma polpa num filtro prensa de placas e quadros com espessura de
. Durante os 10 primeiros minutos, onde a pressão sobe até 60 lbf/in², a filtração ocorre à vazão constante e obtém-se a quarta parte da totalidade do filtrado. A filtração ainda leva mais uma hora para completar à pressão constante (60
) e são requeridos 15 minutos adicionais para esvaziar e reajustar a prensa. A engenheira júnior Fernanda França verificou que trocando o meio filtrante a resistência se reduz para um quarto do valor primitivo. Qual será o aumento na produção da prensa nessa nova condição? Considerar que o sistema ainda opera nas mesmas condições propostas inicialmente, ou seja, uma operação à vazão constante (mesma do filtro original) seguida de outra seção à pressão constante (
) com o mesmo tempo para esvaziar e reajustar a prensa. Considerar como base de cálculo o mesmo volume de filtrado final nas duas condições. (8,9%)
Passo 1
Beleza, o problema diz o seguinte: temos um filtro-prensa que faz uma filtração em duas etapas – primeiro 10 min com vazão constante até chegar a 60 lbf/in² (nesse tempo sai ¼ do volume total), depois 60 min a pressão fixa de 60 lbf/in² para sair os ¾ restantes, e em seguida mais 15 min para esvaziar e reajustar. A Fernanda trocou o meio filtrante e conseguiu reduzir a resistência dele a ¼ do valor original. Pergunta: qual é o ganho de produção (mesmo volume filtrado no final) usando esse meio novo, mantendo as mesmas etapas de vazão constante e pressão constante?
Conteúdo: teoria de filtração (resistência do meio + resistência de bolo), fórmula de tempo de filtração em pressão constante. Vamos precisar:
- Equação de filtração em pressão fixa:
t = μ⋅(R_m⋅V + (α⋅C⋅V²)/(2A)) / (A⋅ΔP) - Hipótese usual pra simplificar: resistência do bolo ≪ resistência do meio (R_m ≫ αCV/A), o que faz o tempo ∝ R_m.
Passo 2
Primeiro, montamos o ciclo antigo:
- Etapa 1 (vazão constante): t₁ = 10 min → sai V/4.
- Etapa 2 (pressão = 60 psi): t₂ = 60 min → sai 3V/4.
- Etapa 3 (esvaziar): t₃ = 15 min.
Total antigo t_total = 10 + 60 + 15 = 85 min para filtrar V.
Passo 3
Agora, com o meio novo, R_m′ = R_m/4. Na etapa 1 nada muda, continua 10 min para V/4 (é vazão fixa). O que muda é a etapa 2, a filtração a 60 psi para os 3V/4:
Como assumimos que o bolo é “fininho” em relação ao meio (R_m domina), a fórmula simplifica para
t₂ ∝ R_m/ΔP.
Então, se R_m′ = R_m/4, o novo tempo nessa etapa será
t₂′ = t₂ ⋅ (R_m′/R_m) = 60 min ⋅ 1/4 = 15 min.
Como assumimos que o bolo é “fininho” em relação ao meio (R_m domina), a fórmula simplifica para
t₂ ∝ R_m/ΔP.
Então, se R_m′ = R_m/4, o novo tempo nessa etapa será
t₂′ = t₂ ⋅ (R_m′/R_m) = 60 min ⋅ 1/4 = 15 min.
Passo 4
Reagrupando o ciclo novo:
- Etapa 1: 10 min
- Etapa 2: 15 min
- Etapa 3: 15 min
Total novo t′_total = 10 + 15 + 15 = 40 min para filtrar o mesmo volume V.
Passo 5
Produção é inversamente proporcional ao tempo de ciclo. Então, em vez de 85 min por V, agora são 40 min por V. O fator de aumento é
f = 85/40 = 2,125.
Isso significa que a prensa consegue produzir 2,125 × mais do que antes, ou seja, um aumento de
(2,125 – 1)·100% = 112,5%.
f = 85/40 = 2,125.
Isso significa que a prensa consegue produzir 2,125 × mais do que antes, ou seja, um aumento de
(2,125 – 1)·100% = 112,5%.
Resposta
O novo meio filtrante rende um aumento de produção de aproximadamente 112,5%.