Um filtro de areia é constituido por particulas aproximadamente esféricas de diâmetro igual a 0,0273 in. Depois de lavado por uma corrente invertida de ágraz, o leito de areia sedimenta e fica com uma profundidade estavel de 6 ft com porosidade aproximada de 0,38, e inundado por água até uma altura 3 ft acima do topo da areia.
Dados: rho=62,3 lb / ft^3 ; mu=6,6 times 10^-4 lb / ft cdot s ; g=32,2 ft s^2: rho,=100 lb / f^3.
Abrindo-se a as valvulas de drenagem, estime quanto tempo será preciso para que o leito seja drenado até que o nivel de água fique na altura do topo do leito de areia.

Passo 1

Resumo do enunciado:
Temos um leito de areia (L = 6 ft, porosidade ε = 0,38) cujas partículas são esferas de diâmetro dₚ = 0,0273 in. A areia está submersa e há uma lâmina de água de inicialmente h₀ = 3 ft acima do topo do leito. Ao abrir a drenagem do fundo, a lâmina cai até h = 0 (nível no topo da areia).
Conteúdo: escoamento em meio poroso saturado (lei de Darcy) e relação Kozeny–Carman para obter a condutividade hidráulica.

Passo 2

Converter unidades e listar dados
  • dₚ = 0,0273 in = 0,0273/12 ft ≃ 0,002275 ft
  • L = 6 ft
  • ε = 0,38
  • h varia de h₀ = 3 ft até hf = 0
  • ρ = 62,3 lb/ft³; μ = 6,6×10⁻⁴ lb/(ft·s); g = 32,2 ft/s²

Passo 3

Calcular a permeabilidade intrínseca K (Kozeny–Carman)
K =
Substituindo:

Passo 4

Calcular a condutividade hidráulica k
k =
k ≃ ≃ 0,0125 ft/s

Passo 5

Montar a equação de drenagem
A velocidade filtrante (v = fluxopor área) obedece a Darcy:
,
onde H = L + h (h = lâmina sobre a areia).
O volume de água por área acima do leito é V/A = h. Logo
.

Passo 6

Integrar de h₀ até 0
integral0^tdt =integralh0^0 -Lk,dhL+h ;Longrightarrow; t=Lkln!l(L+h0Lr)
Substituindo L=6 ft, k=0,0125 ft/s, h₀=3 ft:
t=60,0125ln!l(1+36r) approx480;ln(1,5)approx195 s

Resposta

O tempo necessário é de aproximadamente 195 s (cerca de 3,3 min).

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