1. Um filtro de areia é constituído por partículas esféricas uniformes de dimensões de malha de peneira -20+28. Depois de lavado por uma corrente invertida de água, o leito de areia sedimenta e fica com uma altura de 2 m . Esse leito é inundado com água até uma altura de 1 m acima do topo da areia. Abrindo-se as válvulas de drenagem, quanto tempo levará para que o leito seja drenado até que o nível de água fique na altura do topo do leito de areia?

Passo 1

O enunciado descreve um leito de areia saturado de altura L=2\\ \mathrm{m}, inundado por uma lâmina de água de altura inicial h_0=1\\ \mathrm{m} acima do topo da areia. Ao abrir-se a drenagem, a água escoa verticalmente para baixo pelo leito. Vamos tratar isso como um escoamento unidimensional não–estacionário em meio poroso saturado, aplicando a Lei de Darcy e o balanço de massa do volume de água acima do leito.

Passo 2

Seja A a área da seção transversal do filtro. A altura de água acima do leito no instante t chamamos de h(t).
O volume de água sobre o leito é
V(t)=A\,h(t)\,.
Pela Lei de Darcy, a vazão instantânea (volume por tempo) que atravessa o leito é
q(t)=K\,i(t)\,A \quad\text{com}\quad i(t)=\frac{h(t)}{L}\,,
onde K é a condutividade hidráulica do leito e i(t) o gradiente hidráulico.

Passo 3

O balanço de massa impõe
\frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}t}=-\,q(t) \;\Longrightarrow\; A\,\frac{\mathrm{d}h}{\mathrm{d}t}=-\,K\,\frac{h(t)}{L}\,A \;\Longrightarrow\; \frac{\mathrm{d}h}{\mathrm{d}t}=-\frac{K}{L}\,h(t).

Passo 4

Essa é uma equação diferencial de decaimento exponencial. Integrando de t=0 (com h(0)=h_0) até t genérico e h(t), obtemos
\int_{h_0}^{h(t)}\frac{1}{h}\,\mathrm{d}h =-\frac{K}{L}\int_{0}^{t}\mathrm{d}t \quad\Longrightarrow\quad \ln\!\bigl(\tfrac{h(t)}{h_0}\bigr)=-\frac{K}{L}\,t
logo
h(t)=h_0\,\exp\!\Bigl(-\frac{K}{L}\,t\Bigr).

Passo 5

Queremos t tal que h(t)=0. Porém, a função exponencial nunca atinge zero em tempo finito. Ou seja, segundo o modelo de Darcy para escoamento não–estacionário,
\lim_{t\to\infty}h(t)=0,
mas h(t)=0 só em t\to\infty.

Resposta

O leito só fica completamente drenado até o topo em tempo infinito; ou seja, ele nunca atinge exatamente o nível do topo em tempo finito (drenagem assintótica).

Exercícios relacionados