- Um filtro de areia é constituído por partículas esféricas uniformes de dimensões de malha de peneira
. Depois de lavado por uma corrente invertida de água, o leito de areia sedimenta e fica com uma altura de 2 m . Esse leito é inundado com água até uma altura de 1 m acima do topo da areia. Abrindo-se as válvulas de drenagem, quanto tempo levará para que o leito seja drenado até que o nível de água fique na altura do topo do leito de areia?
Passo 1
O enunciado descreve um leito de areia saturado de altura
, inundado por uma lâmina de água de altura inicial
acima do topo da areia. Ao abrir-se a drenagem, a água escoa verticalmente para baixo pelo leito. Vamos tratar isso como um escoamento unidimensional não–estacionário em meio poroso saturado, aplicando a Lei de Darcy e o balanço de massa do volume de água acima do leito.
Passo 2
Seja
a área da seção transversal do filtro. A altura de água acima do leito no instante
chamamos de
.
O volume de água sobre o leito é
O volume de água sobre o leito é
Pela Lei de Darcy, a vazão instantânea (volume por tempo) que atravessa o leito é
onde
é a condutividade hidráulica do leito e
o gradiente hidráulico.
Passo 3
O balanço de massa impõe
Passo 4
Essa é uma equação diferencial de decaimento exponencial. Integrando de
(com
) até
genérico e
, obtemos
logo
Passo 5
Queremos
tal que
. Porém, a função exponencial nunca atinge zero em tempo finito. Ou seja, segundo o modelo de Darcy para escoamento não–estacionário,
mas
só em
.
Resposta
O leito só fica completamente drenado até o topo em tempo infinito; ou seja, ele nunca atinge exatamente o nível do topo em tempo finito (drenagem assintótica).